Dadas as funções a seguir encontre as fórmulas para as funções
(f+g)(x),(f-g)(x),(f g)(x), (f / g)(x),(f \circ g)(x) e (g \circ f)(x)
b) f(x)=(x-1)^{2} e $g(x)=7 x-4

Passo 1

O enunciado dá as funções
f(x) = (x-1)^2, \qquad g(x) = 7x - 4
e pede as operações de soma, subtração, produto, quociente e composições. O conteúdo é operações entre funções, usando as definições:
(f+g)(x)=f(x)+g(x), \quad (f-g)(x)=f(x)-g(x), \quad (fg)(x)=f(x)\,g(x), \quad \bigl(\tfrac{f}{g}\bigr)(x)=\frac{f(x)}{g(x)},
(f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr), \quad (g\circ f)(x)=g\bigl(f(x)\bigr).

Passo 2

Aplicando a definição de soma:
(f+g)(x)=f(x)+g(x)=(x-1)^2 + (7x-4).
Agora expandimos e simplificamos:
(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1,
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(f+g)(x)=x^2 - 2x + 1 + 7x - 4 = x^2 + 5x - 3.

Passo 3

Aplicando a definição de subtração:
(f-g)(x)=f(x)-g(x)=(x-1)^2 - (7x-4).
Expandindo:
(f-g)(x)=x^2 - 2x + 1 - 7x + 4 = x^2 - 9x + 5.

Passo 4

Aplicando a definição de produto:
(fg)(x)=f(x)\,g(x) = (x-1)^2 \,(7x-4).
Multiplicamos os polinômios:
(x^2 -2x +1)(7x-4) =7x^3 -4x^2 -14x^2 +8x +7x -4 =7x^3 -18x^2 +15x -4.

Passo 5

Para o quociente:
\bigl(\tfrac{f}{g}\bigr)(x)=\frac{f(x)}{g(x)} =\frac{(x-1)^2}{7x-4},
com a restrição g(x)\neq0, isto é x\neq\frac{4}{7}.

Passo 6

Para f\circ g, substituímos x por g(x) em f:
(f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr) =\bigl(g(x)-1\bigr)^2 =\bigl(7x-4-1\bigr)^2 =(7x-5)^2.
Expandindo:
(f\circ g)(x)=49x^2 -70x +25.

Passo 7

Para g\circ f, substituímos x por f(x) em g:
(g\circ f)(x)=g\bigl(f(x)\bigr) =7\,f(x)-4 =7\,(x-1)^2 -4.
Expandindo:
7\,(x^2 -2x +1)-4 =7x^2 -14x +7 -4 =7x^2 -14x +3.

Resposta

( f+g)(x) = x^2 +5x - 3
(f−g)(x) = x^2 − 9x +5
(fg)(x) = 7x^3 18x^2 +15x − 4
(f/g)(x) = \frac{(x-1)^2}{7x-4}, com x\neq \tfrac{4}{7}
(f ∘ g)(x) = 49x^2 − 70x +25
(g ∘ f)(x) = 7x^2 − 14x +3

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