Para as funções f(x) e g(x) dadas a seguir, determine (f \circ g)(x),(g \circ f)(x),(f \circ f)(x) \mathrm{e} (g \circ g)(x).
f(x)=x^{2}-1 e g(x)=\frac{1}{x-1}

Passo 1

O enunciado apresenta as funções f(x)=x^{2}-1 e g(x)=\frac{1}{x-1}
e pede para calcular as composições (f\circ g)(x), (g\circ f)(x), (f\circ f)(x) e (g\circ g)(x).
Para isso, vamos usar a definição de composição:
(f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr),\quad (g\circ f)(x)=g\bigl(f(x)\bigr),
e assim por diante, cuidando também das restrições de domínio (evitar divisor zero).

Passo 2

Calcular (f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr).
Substituindo g(x)=\tfrac{1}{x-1} em f(u)=u^{2}-1, com u=g(x), vem
(f\circ g)(x) =\Bigl(\tfrac{1}{x-1}\Bigr)^{2}-1 =\frac{1}{(x-1)^{2}}-1 =\frac{1-(x-1)^{2}}{(x-1)^{2}} =\frac{1-\bigl(x^{2}-2x+1\bigr)}{(x-1)^{2}} =\frac{-x^{2}+2x}{(x-1)^{2}} =\frac{x(2-x)}{(x-1)^{2}}.
Domínio: x\neq1.

Passo 3

Calcular (g\circ f)(x)=g\bigl(f(x)\bigr).
Substituindo f(x)=x^{2}-1 em g(u)=\tfrac{1}{u-1}, com u=f(x), vem
(g\circ f)(x) =\frac{1}{(x^{2}-1)-1} =\frac{1}{x^{2}-2}.
Domínio: x^{2}-2\neq0, ou seja, x\neq\pm\sqrt{2}.

Passo 4

Calcular (f\circ f)(x)=f\bigl(f(x)\bigr).
Usando f(x)=x^{2}-1 dentro de si mesma:
(f\circ f)(x) =\bigl(x^{2}-1\bigr)^{2}-1 =x^{4}-2x^{2}+1-1 =x^{4}-2x^{2}.
Domínio: todo \mathbb{R}.

Passo 5

Calcular (g\circ g)(x)=g\bigl(g(x)\bigr).
Substituindo g(x)=\tfrac{1}{x-1} em g(u)=\tfrac{1}{u-1}, com u=g(x), vem
(g\circ g)(x) =\frac{1}{\tfrac{1}{x-1}-1} =\frac{1}{\tfrac{1-(x-1)}{x-1}} =\frac{x-1}{1-(x-1)} =\frac{x-1}{2-x}.
Domínio: x\neq1 (para g(x) existir) e \tfrac{1}{x-1}\neq1 \Rightarrow x\neq2.

Resposta

(f\circ g)(x)=\displaystyle \frac{x(2-x)}{(x-1)^{2}},\quad x\neq1 (g\circ f)(x)=\displaystyle \frac{1}{x^{2}-2},\quad x\neq\pm\sqrt{2} (f\circ f)(x)=x^{4}-2x^{2},\quad x\in\mathbb{R} (g\circ g)(x)=\displaystyle \frac{x-1}{2-x},\quad x\neq1,2

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