Determine o domínio das seguintes funções vetoriais:
F(t)=\left\langle\frac{t}{t-1}, \frac{1}{t}, \cos \left(\frac{1}{t}\right)\right\rangle.

Passo 1

O enunciado nos dá a função vetorial
F(t)=\biggl\langle \frac{t}{t-1}, \,\frac{1}{t},\, \cos\bigl(\tfrac{1}{t}\bigr)\biggr\rangle
e pede o domínio, ou seja, o conjunto de todos os valores de t\in\mathbb{R} para os quais cada componente de F(t) está bem definida.

Passo 2

Analisamos a primeira componente \frac{t}{t-1}. Para ela ser válida, o denominador não pode ser zero. Logo,
t-1 \neq 0 \quad\Longrightarrow\quad t \neq 1.

Passo 3

Analisamos a segunda componente \tfrac{1}{t}. Para ela ser válida, também o denominador não pode ser zero. Logo, t \neq 0.

Passo 4

Analisamos a terceira componente \cos\bigl(\tfrac{1}{t}\bigr). O cosseno aceita qualquer número real, mas o argumento \tfrac{1}{t} só existe se t\neq 0. Já capturamos t\neq 0 no passo anterior, então não há nova restrição.

Passo 5

Juntando as condições de todos os componentes, temos
t \neq 0 \quad\text{e}\quad t \neq 1.
Portanto, o domínio de F é o conjunto dos reais excluindo 0 e 1.

Resposta

\mathrm{Dom}(F) = \{\,t\in\mathbb{R}\mid t\neq 0,\;t\neq 1\} = (-\infty,0)\cup(0,1)\cup(1,\infty).

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