Dadas A=[ll1 & 2 3 & 4] e C=[cc1 & 2 -1 & -2], determine todas as matrizes B quadradas de ordem 2 tais que:
C B=02 times 2

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A = 1 & 2 3 & 4, C = 1 & 2 -1 & -2
e pede todas as matrizes quadradas B de ordem 2 tais que
C,B = 02times2
Isso é um problema de encontrar todas as matrizes cujas colunas pertencem ao núcleo (nullspace) de C.

Passo 2

Seja
B = b11 & b12 b21 & b22
uma matriz genérica 2times2. Vamos impor a condição C,B=0.

Passo 3

Calculamos o produto
C,B = 1 & 2 -1 & -2 b11 & b12 b21 & b22 = 1cdot b11+2cdot b21 & 1cdot b12+2cdot b22 -1cdot b11-2cdot b21 & -1cdot b12-2cdot b22
Para que C,B=02times2, cada uma das quatro entradas deve ser zero. As duas equações não-triviais são
b11 + 2,b21 = 0, b12 + 2,b22 = 0
As outras duas são repetição (são apenas o negativo destas).

Passo 4

Das equações
b11 + 2,b21 = 0 Longrightarrow b11 = -2,b21,
b12 + 2,b22 = 0 Longrightarrow b12 = -2,b22
Logo as entradas de B ficam parametrizadas por b21 e b22.

Passo 5

Chamando s = b21 e t = b22, obtemos a forma geral
B = -2s & -2t s & t = s -21!(1times2) + t -21!(1times2),
isto é, cada coluna de B é múltiplo do vetor l(-2,1r)^T, que gera o núcleo de C.

Resposta

Todas as soluções são
boxedB = -2s & -2t s & t , s,tinR

Exercícios relacionados