(2, 0 pontos) Considere A e B matrizes reais 2 \times 2 arbitrárias. Responda V (verdadeiro) ou F (falso), justificando a sua resposta.
a) \operatorname{det} A=\operatorname{det} A^{T}
b) Se A e B são simétricas, então A B=B A.
c) Se A B=0, então B A=0.
d) \operatorname{det}\left(A^{2}\right)=(\operatorname{det} A)^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se quatro afirmações sobre matrizes reais 2\times2 são verdadeiras (V) ou falsas (F). Vamos usar:
  • Propriedades de determinante e transposta;
  • Comutatividade de matrizes simétricas (ou não) via contraexemplos;
  • Propriedade de multiplicatividade do determinante;
  • Construção de exemplos em 2\times2 para mostrar falsidade.

Passo 2

Para a afirmativa a) note que toda matriz quadrada satisfaz
\det(A^T)=\det A.
Isso vem da definição de determinante via permutações, onde a transposta apenas troca linhas por colunas sem alterar o valor.
Logo, a) é verdadeira.

Passo 3

Na afirmativa b) diz-se que se A e B são simétricas então AB=BA.
Isso não vale em geral: por exemplo, seja
\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&-1\end{pmatrix},
\displaystyle B=\begin{pmatrix}0&1\\\ 1&0\end{pmatrix}.
Ambas são simétricas, mas
\displaystyle AB=\begin{pmatrix}0&1\\\ -1&0\end{pmatrix}\neq\begin{pmatrix}0&-1\\\ 1&0\end{pmatrix}=BA.
Portanto, b) é falsa.

Passo 4

A afirmativa c) afirma que AB=0 implica BA=0.
Também é falsa em geral: tome
\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&1\\\ 0&0\end{pmatrix},
\displaystyle B=\begin{pmatrix}0&0\\\ 1&0\end{pmatrix}.
Calcula-se
\displaystyle AB=\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&0\end{pmatrix}
mas
\displaystyle BA=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix}\neq0.
Logo, c) é falsa.

Passo 5

Para a afirmativa d) usamos a multiplicatividade do determinante:
\det(A^2)=\det(A\cdot A)=\det A\;\det A=(\det A)^2.
Isso vale para qualquer matriz quadrada.
Portanto, d) é verdadeira.

Resposta

a) V
b) F
c) F
d) V

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