(2, 0 pontos) Considere
e
matrizes reais
arbitrárias. Responda V (verdadeiro) ou F (falso), justificando a sua resposta.
a)
b) Se
e
são simétricas, então
.
c) Se
, então
.
d)
.
a)
b) Se
c) Se
d)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se quatro afirmações sobre matrizes reais
são verdadeiras (V) ou falsas (F). Vamos usar:
- Propriedades de determinante e transposta;
- Comutatividade de matrizes simétricas (ou não) via contraexemplos;
- Propriedade de multiplicatividade do determinante;
- Construção de exemplos em
para mostrar falsidade.
Passo 2
Para a afirmativa a) note que toda matriz quadrada satisfaz
.
Isso vem da definição de determinante via permutações, onde a transposta apenas troca linhas por colunas sem alterar o valor.
Logo, a) é verdadeira.
Isso vem da definição de determinante via permutações, onde a transposta apenas troca linhas por colunas sem alterar o valor.
Logo, a) é verdadeira.
Passo 3
Na afirmativa b) diz-se que se
e
são simétricas então
.
Isso não vale em geral: por exemplo, seja
,
.
Ambas são simétricas, mas
.
Portanto, b) é falsa.
Isso não vale em geral: por exemplo, seja
Ambas são simétricas, mas
Portanto, b) é falsa.
Passo 4
A afirmativa c) afirma que
implica
.
Também é falsa em geral: tome
,
.
Calcula-se
mas
.
Logo, c) é falsa.
Também é falsa em geral: tome
Calcula-se
mas
Logo, c) é falsa.
Passo 5
Para a afirmativa d) usamos a multiplicatividade do determinante:
.
Isso vale para qualquer matriz quadrada.
Portanto, d) é verdadeira.
Isso vale para qualquer matriz quadrada.
Portanto, d) é verdadeira.
Resposta
a) V
b) F
c) F
d) V
b) F
c) F
d) V