Determine a matriz \mathbb{X} nos seguintes casos:
\frac{3}{2} \mathbb{X}+\left(\begin{array}{cc}-1 & 3 \\\\ 2 & -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3 & -4 \\\\ 5 & 4\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a matriz \mathbb{X} que satisfaz a equação
\frac{3}{2}\,\mathbb{X} + \begin{pmatrix}-1 & 3 \\\\ 2 & -2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 & -4 \\\\ 5 & 4\end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é resolução de equação matricial envolvendo soma de matrizes e multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro isolamos \mathbb{X}. Subtraímos a matriz \begin{pmatrix}-1 & 3 \\\\ 2 & -2\end{pmatrix} de ambos os lados:
\frac{3}{2}\,\mathbb{X} = \begin{pmatrix}3 & -4 \\\\ 5 & 4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-1 & 3 \\\\ 2 & -2\end{pmatrix}.

Passo 3

Calculamos a diferença das matrizes no lado direito:
\begin{pmatrix}3 & -4 \\\\ 5 & 4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-1 & 3 \\\\ 2 & -2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 - (-1) & -4 - 3 \\\\ 5 - 2 & 4 - (-2)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 & -7 \\\\ 3 & 6\end{pmatrix}.

Passo 4

Agora multiplicamos ambos os lados por \tfrac{2}{3}, que é o inverso de \tfrac{3}{2}:
\mathbb{X} = \frac{2}{3}\,\begin{pmatrix}4 & -7 \\\\ 3 & 6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac{2}{3}\cdot 4 & \tfrac{2}{3}\cdot(-7) \\\ \tfrac{2}{3}\cdot 3 & \tfrac{2}{3}\cdot 6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac{8}{3} & -\tfrac{14}{3} \\\\ 2 & 4\end{pmatrix}.

Resposta

\mathbb{X} = \begin{pmatrix}\tfrac{8}{3} & -\tfrac{14}{3} \\\\ 2 & 4\end{pmatrix}.

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