Dadas as matrizes A , B e C , abaixo:
\begin{aligned} & \mathrm{A}=\left[\begin{array}{rrr} 1 & -3 & 2 \\ 2 & 1 & -3 \\ 4 & -3 & -1 \end{array}\right] ; \quad \mathrm{B}=\left[\begin{array}{rrrr} 1 & 4 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 & 2 \end{array}\right] \quad \mathrm{e} \quad \mathrm{C}=\left[\begin{array}{rrrr} 2 & 1 & -1 & -2 \\ 3 & -2 & -1 & -1 \\ 2 & -5 & -1 & 0 \end{array}\right] \\ & \text { mostre que } \mathrm{AB}=\mathrm{BC} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado nos dá as matrizes (peguei os elementos do enunciado):
\mathrm{A}=\left[\begin{array}{rrr} 1 & -3 & 2 \\\\ 2 & 1 & -3 \\\\ 4 & -3 & -1 \end{array}\right],\qquad \mathrm{B}=\left[\begin{array}{rrrr} 1 & 4 & 1 & 0 \\\\ 2 & 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & -2 & 1 & 2 \end{array}\right],\qquad \mathrm{C}=\left[\begin{array}{rrrr} 2 & 1 & -1 & -2 \\\\ 3 & -2 & -1 & -1 \\\\ 2 & -5 & -1 & 0 \end{array}\right].
O enunciado pede: mostre que AB=BC.
Informações relevantes que eu extraí:
  • A tem dimensão 3\times3.
  • B tem dimensão 3\times4.
  • C tem dimensão 3\times4.
  • Observação importante: a multiplicação BC requer que o número de colunas de B (que é 4) seja igual ao número de linhas de C. Aqui C tem 3 linhas, logo as dimensões são incompatíveis para calcular BC. Portanto a multiplicação BC NÃO está definida com as matrizes exatamente como foram dadas.
  • Dado esse conflito, é plausível que o enunciado tenha um pequeno erro de digitação e a intenção fosse comparar AB com AC (ambas bem definidas: A é 3\times3 e B,C são 3\times4, então AB e AC são ambas 3\times4). Vou proceder mostrando detalhadamente o cálculo de AB e de AC e verificar a igualdade. Se realmente a intenção for AB=BC, isso não pode ser verificado com as matrizes dadas porque BC não existe.

Passo 2

Relembre comigo a definição de multiplicação de matrizes (vou explicar direitinho como aplicar na prova).
Se X é uma matriz de dimensão m\times n e Y é uma matriz de dimensão n\times p, então o produto XY está definido e tem dimensão m\times p. O elemento da linha i e coluna j de XY, que eu chamo de (XY)_{ij}, é dado pela soma dos produtos dos elementos da linha i de X pelos elementos da coluna j de Y:
(XY)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} X_{ik}Y_{kj}.
Aqui:
  • i varia de 1 até m,
  • j varia de 1 até p,
  • k percorre as n posições para fazer o “produto escalar” entre a linha i de X e a coluna j de Y.
Na prática, para calcular uma entrada você pega a linha correspondente da primeira matriz e faz o produto escalar com a coluna correspondente da segunda matriz, somando termo a termo. Vamos aplicar isso passo a passo para AB e para AC.

Passo 3

Cálculo de AB. Dimensões: A é 3\times3, B é 3\times4, portanto AB será 3\times4. Vou calcular linha a linha.
Linha 1 de A é [1,\,-3,\,2]. As colunas de B são:
\text{col}_1(B)=\left[\begin{array}{c}1\\[2pt]2\\[2pt]1\end{array}\right],\quad \text{col}_2(B)=\left[\begin{array}{c}4\\[2pt]1\\[2pt]-2\end{array}\right],\quad \text{col}_3(B)=\left[\begin{array}{c}1\\[2pt]1\\[2pt]1\end{array}\right],\quad \text{col}_4(B)=\left[\begin{array}{c}0\\[2pt]1\\[2pt]2\end{array}\right].
Agora os produtos escalares:
Para (AB)_{11}:
(AB)_{11}=1\cdot1+(-3)\cdot2+2\cdot1=1-6+2=-3.
Para (AB)_{12}:
(AB)_{12}=1\cdot4+(-3)\cdot1+2\cdot(-2)=4-3-4=-3.
Para (AB)_{13}:
(AB)_{13}=1\cdot1+(-3)\cdot1+2\cdot1=1-3+2=0.
Para (AB)_{14}:
(AB)_{14}=1\cdot0+(-3)\cdot1+2\cdot2=0-3+4=1.
Logo a primeira linha de AB é [-3,\,-3,\,0,\,1].]

Passo 4

Continuo com a segunda linha de A, que é [2,\,1,\,-3].
Para (AB)_{21}:
(AB)_{21}=2\cdot1+1\cdot2+(-3)\cdot1=2+2-3=1.
Para (AB)_{22}:
(AB)_{22}=2\cdot4+1\cdot1+(-3)\cdot(-2)=8+1+6=15.
Para (AB)_{23}:
(AB)_{23}=2\cdot1+1\cdot1+(-3)\cdot1=2+1-3=0.
Para (AB)_{24}:
(AB)_{24}=2\cdot0+1\cdot1+(-3)\cdot2=0+1-6=-5.
Segunda linha de AB: [1,\,15,\,0,\,-5].

Passo 5

Agora a terceira linha de A, que é [4,\,-3,\,-1].
Para (AB)_{31}:
(AB)_{31}=4\cdot1+(-3)\cdot2+(-1)\cdot1=4-6-1=-3.
Para (AB)_{32}:
(AB)_{32}=4\cdot4+(-3)\cdot1+(-1)\cdot(-2)=16-3+2=15.
Para (AB)_{33}:
(AB)_{33}=4\cdot1+(-3)\cdot1+(-1)\cdot1=4-3-1=0.
Para (AB)_{34}:
(AB)_{34}=4\cdot0+(-3)\cdot1+(-1)\cdot2=0-3-2=-5.
Terceira linha de AB: [-3,\,15,\,0,\,-5].

Passo 6

Juntando as três linhas, obtemos
AB=\left[\begin{array}{rrrr} -3 & -3 & 0 & 1 \\\\ 1 & 15 & 0 & -5 \\\\ -3 & 15 & 0 & -5 \end{array}\right].
Guarde esse resultado — vamos comparar com AC.

Passo 7

Cálculo de AC. Como C é 3\times4, a multiplicação A(3\times3)\cdot C(3\times4) está definida e o resultado será também 3\times4. Vou calcular exatamente como fiz para AB.
As colunas de C são:
\text{col}_1\text{(C)}=\left[\begin{array}{c}2\\[2pt]3\\[2pt]2\end{array}\right],\quad \text{col}_2\text{(C)}=\left[\begin{array}{c}1\\[2pt]-2\\[2pt]-5\end{array}\right],\quad \text{col}_3\text{(C)}=\left[\begin{array}{c}-1\\[2pt]-1\\[2pt]-1\end{array}\right],\quad \text{col}_4\text{(C)}=\left[\begin{array}{c}-2\\[2pt]-1\\[2pt]0\end{array}\right].
Linha 1 de A é [1,\,-3,\,2]. Fazendo os produtos escalares:
(AC)_{11}=1\cdot2+(-3)\cdot3+2\cdot2=2-9+4=-3.
(AC)_{12}=1\cdot1+(-3)\cdot(-2)+2\cdot(-5)=1+6-10=-3.
(AC)_{13}=1\cdot(-1)+(-3)\cdot(-1)+2\cdot(-1)=-1+3-2=0.
(AC)_{14}=1\cdot(-2)+(-3)\cdot(-1)+2\cdot0=-2+3+0=1.
Primeira linha de AC: [-3,\,-3,\,0,\,1], que coincide com a primeira linha de AB.]

Passo 8

Segunda linha de A é [2,\,1,\,-3]. Produtos escalares com as colunas de C:
(AC)_{21}=2\cdot2+1\cdot3+(-3)\cdot2=4+3-6=1.
(AC)_{22}=2\cdot1+1\cdot(-2)+(-3)\cdot(-5)=2-2+15=15.
(AC)_{23}=2\cdot(-1)+1\cdot(-1)+(-3)\cdot(-1)=-2-1+3=0.
(AC)_{24}=2\cdot(-2)+1\cdot(-1)+(-3)\cdot0=-4-1+0=-5.
Segunda linha de AC: [1,\,15,\,0,\,-5], igual à segunda linha de AB.

Passo 9

Terceira linha de A é [4,\,-3,\,-1]. Produtos escalares:
(AC)_{31}=4\cdot2+(-3)\cdot3+(-1)\cdot2=8-9-2=-3.
(AC)_{32}=4\cdot1+(-3)\cdot(-2)+(-1)\cdot(-5)=4+6+5=15.
(AC)_{33}=4\cdot(-1)+(-3)\cdot(-1)+(-1)\cdot(-1)=-4+3+1=0.
(AC)_{34}=4\cdot(-2)+(-3)\cdot(-1)+(-1)\cdot0=-8+3+0=-5.
Terceira linha de AC: [-3,\,15,\,0,\,-5], igual à terceira de AB.

Passo 10

Portanto
AC=\left[\begin{array}{rrrr} -3 & -3 & 0 & 1 \\\\ 1 & 15 & 0 & -5 \\\\ -3 & 15 & 0 & -5 \end{array}\right].
Comparando com o resultado do Produto AB (Passo 6), vemos que AB=AC.
Observação final: como eu expliquei em Passo 1, a multiplicação BC não está definida com as matrizes exatamente como foram dadas (dimensões incompatíveis: B é 3\times4 e C é 3\times4). Assim, a igualdade AB=BC não pode ser verificada. O que podemos afirmar com certeza a partir dos cálculos é que AB=AC; provavelmente houve um erro de digitação no enunciado e a intenção era mostrar AB=AC.

Resposta

A multiplicação BC não está definida (dimensões incompatíveis). Assumindo que a intenção era comparar AB com AC, temos
AB=AC=\left[\begin{array}{rrrr} -3 & -3 & 0 & 1 \\\\ 1 & 15 & 0 & -5 \\\\ -3 & 15 & 0 & -5 \end{array}\right].

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