Dadas as matrizes abaixo, calcule o que se pede:
A=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 0 & 1 \\\\ 1 & 3\end{array}\right] B=\left[\begin{array}{cc}-1 & 0 \\\\ 2 & 3 \\\\ 1 & -3\end{array}\right] C=\left[\begin{array}{ccc}2 & 0 & -1 \\\\ 3 & 1 & 2 \\\\ 4 & -2 & 0\end{array}\right]
(b)
A B^{T}-3 C

Passo 1

O enunciado nos dá as matrizes
A=\begin{pmatrix}1 & 2\\\ 0 & 1\\\ 1 & 3\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}-1 & 0\\\ 2 & 3\\\ 1 & -3\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}2 & 0 & -1\\\ 3 & 1 & 2\\\ 4 & -2 & 0\end{pmatrix}
e pede para calcular
AB^T - 3C.
Para isso vamos usar a transposição de B, o produto de matrizes A\cdot B^T, a multiplicação de C por escalar e em seguida a subtração elemento a elemento.

Passo 2

Obtemos a transposta de B. Os elementos da linha i, coluna j de B passam para a linha j, coluna i em B^T. Logo,
B^T = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1\\\\ 0 & 3 & -3 \end{pmatrix}.

Passo 3

Calculamos o produto A\,B^T usando a regra “linha de A vezes coluna de B^T”. Cada entrada (i,j) de A\,B^T é
(A\,B^T)_{ij} =\sum_{k=1}^{2}A_{ik}(B^T)_{kj}.
Fazendo as contas, obtemos
A\,B^T =\begin{pmatrix} -1 & 8 & -5\\\\ 0 & 3 & -3\\\\ -1 & 11 & -8 \end{pmatrix}.

Passo 4

Multiplicamos C pelo escalar 3, aplicando a multiplicação em cada entrada:
3C =\begin{pmatrix} 6 & 0 & -3\\\\ 9 & 3 & 6\\\\ 12 & -6 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 5

Finalmente subtraímos 3C de A\,B^T elemento a elemento:
A\,B^T - 3C =\begin{pmatrix} -1-6 & 8-0 & -5-(-3)\\\\ 0-9 & 3-3 & -3-6\\\\ -1-12 & 11-(-6) & -8-0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -7 & 8 & -2\\\\ -9 & 0 & -9\\\\ -13 & 17 & -8 \end{pmatrix}.

Resposta

AB^T - 3C =\begin{pmatrix} -7 & 8 & -2\\\\ -9 & 0 & -9\\\\ -13 & 17 & -8 \end{pmatrix}.

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