Dadas as matrizes abaixo, calcule o que se pede:
A=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 0 & 1 \\\\ 1 & 3\end{array}\right] B=\left[\begin{array}{cc}-1 & 0 \\\\ 2 & 3 \\\\ 1 & -3\end{array}\right] C=\left[\begin{array}{ccc}2 & 0 & -1 \\\\ 3 & 1 & 2 \\\\ 4 & -2 & 0\end{array}\right]
(c)
A^{T} C

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A=\begin{pmatrix}1 & 2\\\ 0 & 1\\\ 1 & 3\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}-1 & 0\\\ 2 & 3\\\ 1 & -3\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}2 & 0 & -1\\\ 3 & 1 & 2\\\ 4 & -2 & 0\end{pmatrix}
e pede o produto A^{T}C. Para isso vamos usar dois conceitos: a definição de transposta de uma matriz e a definição de multiplicação de matrizes.

Passo 2

Primeiro calculamos a transposta de A. A transposta troca linhas por colunas, então
A^{T} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\\\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora aplicamos a definição de produto de matrizes: o elemento (i,j) de A^{T}C é
(A^{T}C)_{ij} = \sum_{k=1}^{3} (A^{T})_{ik}\,C_{kj}.
Para a primeira linha ( i=1):
(A^{T}C)_{11} = 1\cdot2 + 0\cdot3 + 1\cdot4 = 6,
(A^{T}C)_{12} = 1\cdot0 + 0\cdot1 + 1\cdot(-2) = -2,
(A^{T}C)_{13} = 1\cdot(-1) + 0\cdot2 + 1\cdot0 = -1.

Passo 4

Para a segunda linha ( i=2):
(A^{T}C)_{21} = 2\cdot2 + 1\cdot3 + 3\cdot4 = 19,
(A^{T}C)_{22} = 2\cdot0 + 1\cdot1 + 3\cdot(-2) = -5,
(A^{T}C)_{23} = 2\cdot(-1) + 1\cdot2 + 3\cdot0 = 0.

Resposta

A^{T}C = \begin{pmatrix} 6 & -2 & -1\\\\ 19 & -5 & 0 \end{pmatrix}

Exercícios relacionados