Dadas as matrizes
a=[ccc 1 & -1 & 2 3 & 2 & -1 ], b=[ccc 2 & 3 & 0 -2 & -3 & 1 ], c=[ccc -4 & -8 & 4 12 & 13 & 1 ]:
Ache os números alpha e beta, ambos diferentes de zero, tais que alpha a+beta b+c tenha a primeira coluna nula.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar alpha e beta, ambos não nulos, de modo que a combinação linear
alpha,a + beta,b + c
tenha sua primeira coluna igual ao vetor nulo. O conteúdo usado aqui é combinação linear de matrizes, que consiste em somar matrizes multiplicadas por escalares e exigir uma certa coluna (ou linha) resultante.

Passo 2

Extraímos a primeira coluna de cada matriz:
Então a primeira coluna de é
\alpha \cdot 3 + \beta \cdot (-2) + 12\end{pmatrix}.]

Passo 3

Para essa coluna ser nula, montamos o sistema
alpha + 2beta - 4 = 0, 3alpha - 2beta + 12 = 0

Passo 4

Da primeira equação isolamos alpha:
alpha = 4 - 2beta
Substituindo na segunda:
3(4 - 2beta) - 2beta + 12 = 0 ;Longrightarrow; 12 - 6beta - 2beta + 12 = 0 ;Longrightarrow; 24 - 8beta = 0 ;Longrightarrow; beta = 3
Então
alpha = 4 - 2cdot3 = -2

Passo 5

Verificamos que alpha = -2 e beta = 3 são ambos diferentes de zero e satisfazem o sistema.

Resposta

alpha = -2,;beta = 3

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