Determine se as afirmações são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta:
Se V1, ldots, Vn forem vetores não nulos L D, então pelo menos um vetor Vk é uma combinação linear única de v1, ldots, vk-1;

Passo 1

O enunciado nos dá uma lista v1,dots,vn de vetores não nulos que é linearmente dependente e pede para verificar se existe algum índice k tal que vk seja combinação linear única de v1,dots,vk-1. O conteúdo envolve definição de dependência linear e combinação linear, e vamos usar o fato de que em toda lista dependente há um vetor que pode ser expresso como combinação dos anteriores, escolhendo-se o primeiro com essa propriedade para garantir unicidade.

Passo 2

Como a lista é linearmente dependente, existe uma relação não trivial
alpha1 v1 + alpha2 v2 + cdots + alphan vn = 0,
com nem todos os alphai nulos. Definimos k como o menor índice para o qual existe uma relação
beta1 v1 + cdots + betak vk = 0
com betakneq0. Pela escolha de k “mínimo”, os vetores v1,dots,vk-1 são necessariamente linearmente independentes (pois nenhuma relação não trivial ocorre antes de k).

Passo 3

Da relação
beta1 v1 + cdots + betak vk = 0,
onde betakneq0, isolamos vk:
vk = -1betakl(beta1 v1 + cdots + betak-1 vk-1r)
Isso mostra que vk é combinação linear de v1,dots,vk-1.

Passo 4

Para ver que essa combinação é única, suponha que existam duas escritas
vk = sumi=1^k-1 gammai vi e vk = sumi=1^k-1 de<ai vi
Subtraindo-as, obtemos
0 = sumi=1^k-1 (gammai - de<ai),vi
Como v1,dots,vk-1 são independentes, segue gammai-de<ai=0 para todo i, ou seja, gammai=de<ai. Logo a representação é única.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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