Determine se as afirmações são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta:
forem vetores não nulos
, então pelo menos um vetor
é uma combinação linear única de
;
Passo 1
O enunciado nos dá uma lista
de vetores não nulos que é linearmente dependente e pede para verificar se existe algum índice
tal que
seja combinação linear única de
. O conteúdo envolve definição de dependência linear e combinação linear, e vamos usar o fato de que em toda lista dependente há um vetor que pode ser expresso como combinação dos anteriores, escolhendo-se o primeiro com essa propriedade para garantir unicidade.
Passo 2
Como a lista é linearmente dependente, existe uma relação não trivial
com nem todos os
nulos. Definimos
como o menor índice para o qual existe uma relação
com
. Pela escolha de
“mínimo”, os vetores
são necessariamente linearmente independentes (pois nenhuma relação não trivial ocorre antes de
).
Passo 3
Da relação
onde
, isolamos
:
Isso mostra que
é combinação linear de
.
Passo 4
Para ver que essa combinação é única, suponha que existam duas escritas
Subtraindo-as, obtemos
Como
são independentes, segue
para todo
, ou seja,
. Logo a representação é única.
Resposta
A afirmação é verdadeira.