Verifique se são LI ou não os seguintes casos:
M1=[ll1 & 1 1 & 0], M2=[ll0 & 1 1 & 1] e M3=[ll1 & 0 0 & 1], matrizes no espaço das matrizes de ordem 2.

Passo 1

Temos as matrizes
M1 = 1 & 1 1 & 0, M2 = 0 & 1 1 & 1, M3 = 1 & 0 0 & 1
no espaço vectorial M2(R), que tem dimensão 4. Queremos verificar se M1,M2,M3 são linearmente independentes, isto é, se
a,M1 + b,M2 + c,M3 = 0
implica a=b=c=0.

Passo 2

Escrevemos a combinação linear genérica e igualamos à matriz nula:
a1 & 1 1 & 0 + b0 & 1 1 & 1 + c1 & 0 0 & 1 = 0 & 0 0 & 0
Isso gera um sistema de equações ao comparar entradas.

Passo 3

Comparando as entradas temos:
(1,1):& a + 0cdot b + c = 0, (1,2):& a + b + 0cdot c = 0, (2,1):& a + b + 0cdot c = 0, (2,2):& 0cdot a + b + c = 0
Ou seja,
a + c = 0, a + b = 0, b + c = 0

Passo 4

Da segunda equação b = -a e da primeira c = -a. Substituindo em b + c = 0
(-a) + (-a) = -2a = 0 Longrightarrow a = 0,
e portanto b=0 e c=0. Como a única solução é a trivial, concluímos que os três vetores-matriz são linearmente independentes.

Resposta

As matrizes M1,M2,M3 são linearmente independentes.

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