Em
, mantemos a definição do produto
de um número por um vetor mas modifiquemos, de 3 maneiras diferentes, a definição da soma
dos vetores
e
. Em cada tentativa, diga quais axiomas do espaço vetorial continuam válidos e quais são violados:
;
Passo 1
O enunciado muda apenas a soma em
, deixando o produto escalar usual. Nosso objetivo é verificar, para essa nova soma
quais dos dez axiomas de espaço vetorial sobre adição e multiplicação escalar continuam válidos e quais são violados.
Passo 2
Verificamos fechamento, elemento neutro e inverso aditivo.
. Fechamento: se
e
, então
. Logo, está satisfeito.
. Neutro aditivo: buscamos
tal que
.
ou seja
. Há elemento neutro e é único.
. Inverso aditivo: para
, queremos
com
.
Logo, todo vetor tem inverso aditivo único.
Passo 3
Comutatividade da soma:
que em geral não coincidem. Portanto, a soma não é comutativa.
Passo 4
Associatividade da soma: precisamos checar
Um cálculo análogo ao do passo anterior mostra que, em geral,
. Logo, a associatividade da soma é violada.
Passo 5
Distributividade do produto escalar sobre a soma de vetores:
enquanto
Os dois coincidem, logo
vale.
Passo 6
Distributividade do produto escalar sobre soma de escalares:
porém
que em geral é diferente de
. Logo,
falha.
Passo 7
Associatividade do produto escalar e existência do escalar identidade:
.
verifica-se diretamente usando o produto escalar usual.
.
também vale.
Resposta
Os axiomas que continuam válidos são:
fechamento da soma;
existência de elemento neutro (zero) e de inversos aditivos;
distributividade
;
associatividade do produto escalar
;
existência do escalar identidade
.
Os axiomas violados são:
comutatividade da soma;
associatividade da soma;
distributividade
.