Em R^2, mantemos a definição do produto alpha v de um número por um vetor mas modifiquemos, de 3 maneiras diferentes, a definição da soma u+v dos vetores u=(x, y) e v=(x^prime, y^prime). Em cada tentativa, diga quais axiomas do espaço vetorial continuam válidos e quais são violados:
u+v=(x+y^prime, x^prime+y);

Passo 1

O enunciado muda apenas a soma em R^2, deixando o produto escalar usual. Nosso objetivo é verificar, para essa nova soma
(u+v)=l(x+y',,x'+yr),
quais dos dez axiomas de espaço vetorial sobre adição e multiplicação escalar continuam válidos e quais são violados.

Passo 2

Verificamos fechamento, elemento neutro e inverso aditivo.
1. Fechamento: se u=(x,y) e v=(x',y'), então u+v=(x+y',x'+y)inR^2. Logo, está satisfeito.
2. Neutro aditivo: buscamos e=(a,b) tal que u+e=u.
(x+b,,a+y)=(x,y)Longrightarrow b=0,;a=0,
ou seja e=(0,0). Há elemento neutro e é único.
3. Inverso aditivo: para u=(x,y), queremos v=(x',y') com u+v=(0,0).
(x+y',,x'+y)=(0,0)Longrightarrow y'=-x,;x'=-y
Logo, todo vetor tem inverso aditivo único.

Passo 3

Comutatividade da soma:
u+v=(x+y',,x'+y), v+u=(x'+y,,x+y'),
que em geral não coincidem. Portanto, a soma não é comutativa.

Passo 4

Associatividade da soma: precisamos checar
(u+v)+wstackrel?=u+(v+w)
Um cálculo análogo ao do passo anterior mostra que, em geral,
(u+v)+wneq u+(v+w). Logo, a associatividade da soma é violada.

Passo 5

Distributividade do produto escalar sobre a soma de vetores:
alpha,(u+v) =l(alpha(x+y'),,alpha(x'+y)r),
enquanto
alpha u+alpha v =l(alpha x+alpha y',,alpha x'+alpha yr)
Os dois coincidem, logo alpha(u+v)=alpha u+alpha v vale.

Passo 6

Distributividade do produto escalar sobre soma de escalares:
(alpha+beta)u =l((alpha+beta)x,;(alpha+beta)yr),
porém
alpha u+beta u =l(alpha x+beta y,;alpha y+beta xr),
que em geral é diferente de l((alpha+beta)x,,(alpha+beta)yr). Logo, (alpha+beta)u=alpha u+beta u falha.

Passo 7

Associatividade do produto escalar e existência do escalar identidade:
1. alpha(beta u)=(alphabeta)u verifica-se diretamente usando o produto escalar usual.
2. 1cdot u=u também vale.

Resposta

Os axiomas que continuam válidos são:
bul<=t fechamento da soma;
bul<=t existência de elemento neutro (zero) e de inversos aditivos;
bul<=t distributividade alpha(u+v)=alpha u+alpha v;
bul<=t associatividade do produto escalar alpha(beta u)=(alphabeta)u;
bul<=t existência do escalar identidade 1cdot u=u.
Os axiomas violados são:
bul<=t comutatividade da soma;
bul<=t associatividade da soma;
bul<=t distributividade (alpha+beta)u=alpha u+beta u.

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