Dadas as matrizes: A=[ll0 & 1 1 & 0], B=[cc13 & 2 raiz23 2 raiz23 & -13] C=[cc15 & -2 raiz65 2 raiz65 & 15],
& D=[cc sin theta & -cos theta cos theta & -sin theta ], E=[ccc raiz33 & raiz33 & raiz33 -raiz63 & raiz66 & raiz66 0 & -raiz22 & 22 ], F=[cc 6 & 9 -4 & -6 ], G=[cc 12 & 16 -9 & -12 ], & H=[ccc -12 & -52 & 1 -12 & -1 & 12 -32 & -3 & 32 ], I=[cc 5 & 10 -2 & -4 ], J=[cc 6 & 10 -3 & -5 ] e K=[ccc -1 & 2 & 6 3 & -2 & -9 -2 & 0 & 3 ]
calcular
D times D^T.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
D = sintheta & -costheta costheta & -sintheta
e pede o produto D times D^T. Vamos usar a definição de matriz transposta e a regra de multiplicação de matrizes 2times2.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a transposta de D, trocando linhas por colunas:
D^T = sintheta & costheta -costheta & -sintheta

Passo 3

Agora aplicamos a multiplicação D D^T. Seja (DD^T)ij o elemento da linha i e coluna j. Temos:
(DD^T)11 = sinthetacdotsintheta + (-costheta)cdot(-costheta) = sin^2theta + cos^2theta,
(DD^T)12 = sinthetacdotcostheta + (-costheta)cdot(-sintheta) = sinthetacostheta + costhetasintheta,
(DD^T)21 = costhetacdotsintheta + (-sintheta)cdot(-costheta) = costhetasintheta + sinthetacostheta,
(DD^T)22 = costhetacdotcostheta + (-sintheta)cdot(-sintheta) = cos^2theta + sin^2theta

Passo 4

Usando sin^2theta + cos^2theta = 1 e
sinthetacostheta + costhetasintheta = 2sinthetacostheta = sin(2theta),
chegamos a
DD^T = 1 & sin(2theta) sin(2theta) & 1

Resposta

D,D^T = 1 & sin(2theta) sin(2theta) & 1

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