Resolva as seguintes inequações:
x-1x-2>2 x-3x-3

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver a inequação x-1x-2 > 2x-3x-3. Aqui, estamos trabalhando com inequações racionais, que envolvem frações com polinômios. Para resolver, vamos precisar entender como manipular essas frações e considerar onde o denominador é zero, já que lá a expressão não é definida.

Passo 2

Primeiro, vamos trazer tudo para um lado da inequação para facilitar a comparação. Subtraindo 2x-3x-3 de ambos os lados, temos:
x-1x-2 - 2x-3x-3 > 0

Passo 3

Agora, vamos encontrar um denominador comum para somar as frações. O denominador comum entre x-2 e x-3 é (x-2)(x-3). Reescrevendo as frações com esse denominador:
(x-1)(x-3) - (2x-3)(x-2)(x-2)(x-3) > 0

Passo 4

Vamos expandir os numeradores:
(x-1)(x-3) = x^2 - 4x + 3
(2x-3)(x-2) = 2x^2 - 7x + 6
Substituindo na inequação:
x^2 - 4x + 3 - (2x^2 - 7x + 6)(x-2)(x-3) > 0

Passo 5

Simplificando o numerador:
x^2 - 4x + 3 - 2x^2 + 7x - 6 = -x^2 + 3x - 3
Então, a inequação fica:
-x^2 + 3x - 3(x-2)(x-3) > 0

Passo 6

Podemos fatorar o numerador para facilitar:
-x^2 + 3x - 3 = -(x^2 - 3x + 3)
Mas x^2 - 3x + 3 não fatoriza facilmente, então vamos deixar assim:
-(x^2 - 3x + 3)(x-2)(x-3) > 0

Passo 7

Agora, vamos identificar os valores que fazem o denominador zero, que são x = 2 e x = 3. Esses pontos dividem a reta numérica em intervalos que vamos testar para ver onde a inequação é verdadeira.

Passo 8

Os pontos críticos são x = 2, x = 3 e as raízes do numerador, que resolvemos:
x^2 - 3x + 3 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
x = 3 pm raiz9 - 122 = 3 pm raiz-32
Como as raízes são complexas, o numerador nunca é zero real, então não temos mais pontos críticos além de x = 2 e x = 3.

Passo 9

Vamos testar os intervalos:
  1. x < 2
  2. 2 < x < 3
  3. x > 3
Escolhendo um número de cada intervalo:
  1. Para x = 1:
-(1 - 3 + 3)(1-2)(1-3) = -1( -1)(-2) = -12 < 0 (Não satisfaz) ã
  1. Para x = 2.5:
-(6.25 - 7.5 + 3)(2.5-2)(2.5-3) = -1.75(0.5)(-0.5) = -1.75-0.25 = 7 > 0 (Satisfaz)
  1. Para x = 4:
-(16 - 12 + 3)(4-2)(4-3) = -7(2)(1) = -7 < 0 (Não satisfaz) ã

Resposta

A inequação x-1x-2 > 2x-3x-3 é satisfeita para valores de x no intervalo 2 < x < 3.

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