Resolva as seguintes inequações:
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver a inequação
. Aqui, estamos trabalhando com inequações racionais, que envolvem frações com polinômios. Para resolver, vamos precisar entender como manipular essas frações e considerar onde o denominador é zero, já que lá a expressão não é definida.
Passo 2
Primeiro, vamos trazer tudo para um lado da inequação para facilitar a comparação. Subtraindo
de ambos os lados, temos:
Passo 3
Agora, vamos encontrar um denominador comum para somar as frações. O denominador comum entre
e
é
. Reescrevendo as frações com esse denominador:
Passo 4
Vamos expandir os numeradores:
Substituindo na inequação:
Passo 5
Simplificando o numerador:
Então, a inequação fica:
Passo 6
Podemos fatorar o numerador para facilitar:
Mas
não fatoriza facilmente, então vamos deixar assim:
Passo 7
Agora, vamos identificar os valores que fazem o denominador zero, que são
e
. Esses pontos dividem a reta numérica em intervalos que vamos testar para ver onde a inequação é verdadeira.
Passo 8
Os pontos críticos são
,
e as raízes do numerador, que resolvemos:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Como as raízes são complexas, o numerador nunca é zero real, então não temos mais pontos críticos além de
e
.
Passo 9
Vamos testar os intervalos:
Escolhendo um número de cada intervalo:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Resposta
A inequação
é satisfeita para valores de
no intervalo
.