Dadas as matrizes: A=[ll0 & 1 1 & 0], B=[cc13 & 2 raiz23 2 raiz23 & -13] C=[cc15 & -2 raiz65 2 raiz65 & 15],
& D=[cc sin theta & -cos theta cos theta & -sin theta ], E=[ccc raiz33 & raiz33 & raiz33 -raiz63 & raiz66 & raiz66 0 & -raiz22 & 22 ], F=[cc 6 & 9 -4 & -6 ], G=[cc 12 & 16 -9 & -12 ], & H=[ccc -12 & -52 & 1 -12 & -1 & 12 -32 & -3 & 32 ], I=[cc 5 & 10 -2 & -4 ], J=[cc 6 & 10 -3 & -5 ] e K=[ccc -1 & 2 & 6 3 & -2 & -9 -2 & 0 & 3 ]
calcular
H^3.

Passo 1

O enunciado pede para calcular ,H^3, onde
H = -tfrac12 & -tfrac52 & 1 -tfrac12 & -1 & tfrac12 -tfrac32 & -3 & tfrac32
O conteúdo usado será a definição de multiplicação de matrizes e a propriedade de potências H^3 = H^2,H.

Passo 2

Vamos calcular primeiro
H^2 = H cdot H,
usando
(H^2)ij = sumk=1^3 Hik,Hkj
– Para a primeira coluna ( j=1) e qualquer i, nota-se que
(H^2)i1 = Hi1H11+Hi2H21+Hi3H31
é sempre zero (os termos se cancelam).
– Para a segunda coluna ( j=2), por exemplo,
(H^2)12 = (-tfrac12)(-tfrac52)+(-tfrac52)(-1)+(1)(-3) = tfrac54+tfrac52-3=tfrac34,
e cálculos análogos dão (H^2)22=tfrac34 e (H^2)32=tfrac94.
– Para a terceira coluna ( j=3), de modo semelhante obtemos
(H^2)13=-tfrac14, (H^2)23=-tfrac14, (H^2)33=-tfrac34.
Com isso,
H^2 = 0 & tfrac34 & -tfrac14 0 & tfrac34 & -tfrac14 0 & tfrac94 & -tfrac34

Passo 3

Observe que as duas primeiras linhas de são idênticas e a terceira é o triplo da primeira:
Chamando , temos

Passo 4

Agora
e cada linha de é (ou ) vezes cada coluna de . Mas verifica-se que
ou seja, todo produto coluna de é zero. Logo todas as entradas de são zero.

Resposta

H^3 = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0

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