Dadas as matrizes:
& A=[ll 0 & 1 1 & 0 ], B=[cc 13 & 2 raiz23 2 raiz23 & -13 ], C=[cc 15 & -2 raiz65 2 raiz65 & 15 ], D=[cc sen theta & -cos theta cos theta & -sen theta ] & [lll raiz33 & raiz33 & raiz33 ] & E=[ccc 3 & 3 & 3 -raiz63 & raiz66 & raiz66 0 & raiz2 & raiz2 rvert,, F=[cc 6 & 9 -4 & -6 ], G=[cc 12 & 16 -9 & -12 ] , & ll 0-raiz22 & raiz22 & H=[ccc -12 & -52 & 1 -12 & -1 & 12 -32 & -3 & 32 ] & J=[cc 5 & 10 -2 & -4 ], L=[rr 6 & 10 -3 & -5 ], M=[rrr -1 & 2 & 6 3 & -2 & -9 -2 & 0 & 3 ]
Calcular AA ^T e classificar a matriz A.

Passo 1

E aí! Vamos resolver um exercício de matrizes. A gente precisa calcular o produto da matriz A pela sua transposta A^T e depois classificar a matriz A . Para isso, vamos precisar saber como encontrar a transposta de uma matriz, fazer a multiplicação de matrizes e entender um pouco sobre os tipos de matrizes, como matrizes ortogonais e simétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar qual é a matriz A que a gente tem:
A = 0 & 1 1 & 0

Passo 3

Agora, vamos encontrar a transposta de A , que é a matriz onde a gente troca as linhas pelas colunas. No caso de A , a transposta A^T fica assim:
A^T = 0 & 1 1 & 0
Na verdade, A^T é igual a A porque A é uma matriz simétrica (a mesma coisa acontece se você refletir A em sua diagonal principal).

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto AA^T . Para multiplicar duas matrizes, a gente multiplica as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda matriz e soma os resultados. Vamos lá:
AA^T = 0 & 1 1 & 0 0 & 1 1 & 0
Vamos calcular cada elemento da matriz resultante:
  • Elemento da primeira linha e primeira coluna:
(0 times 0) + (1 times 1) = 0 + 1 = 1
  • Elemento da primeira linha e segunda coluna:
(0 times 1) + (1 times 0) = 0 + 0 = 0
  • Elemento da segunda linha e primeira coluna:
(1 times 0) + (0 times 1) = 0 + 0 = 0
  • Elemento da segunda linha e segunda coluna:
(1 times 1) + (0 times 0) = 1 + 0 = 1
Então, a matriz AA^T fica:
AA^T = 1 & 0 0 & 1

Passo 5

Agora que temos AA^T , vamos classificar a matriz A . Observando que AA^T é a matriz identidade I , isso nos diz que A é uma matriz ortogonal. Uma matriz ortogonal tem a propriedade de que sua transposta é igual à sua inversa, ou seja, A^T = A^-1 .
Além disso, já vimos que A é simétrica porque A = A^T .

Resposta

AA^T = 1 & 0 0 & 1
A matriz A é ortogonal e simétrica.

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