E aí! Vamos resolver um exercício de matrizes. A gente precisa calcular o produto da matriz A pela sua transposta A^T e depois classificar a matriz A . Para isso, vamos precisar saber como encontrar a transposta de uma matriz, fazer a multiplicação de matrizes e entender um pouco sobre os tipos de matrizes, como matrizes ortogonais e simétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar qual é a matriz A que a gente tem:
A = 0 & 1 1 & 0
Passo 3
Agora, vamos encontrar a transposta de A , que é a matriz onde a gente troca as linhas pelas colunas. No caso de A , a transposta A^T fica assim:
A^T = 0 & 1 1 & 0
Na verdade, A^T é igual a A porque A é uma matriz simétrica (a mesma coisa acontece se você refletir A em sua diagonal principal).
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto AA^T . Para multiplicar duas matrizes, a gente multiplica as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda matriz e soma os resultados. Vamos lá:
AA^T = 0 & 1 1 & 0 0 & 1 1 & 0
Vamos calcular cada elemento da matriz resultante:
Elemento da primeira linha e primeira coluna:
(0 times 0) + (1 times 1) = 0 + 1 = 1
Elemento da primeira linha e segunda coluna:
(0 times 1) + (1 times 0) = 0 + 0 = 0
Elemento da segunda linha e primeira coluna:
(1 times 0) + (0 times 1) = 0 + 0 = 0
Elemento da segunda linha e segunda coluna:
(1 times 1) + (0 times 0) = 1 + 0 = 1
Então, a matriz AA^T fica:
AA^T = 1 & 0 0 & 1
Passo 5
Agora que temos AA^T , vamos classificar a matriz A . Observando que AA^T é a matriz identidade I , isso nos diz que A é uma matriz ortogonal. Uma matriz ortogonal tem a propriedade de que sua transposta é igual à sua inversa, ou seja, A^T = A^-1 .
Além disso, já vimos que A é simétrica porque A = A^T .