Seja V um espaço vetorial e seja u, v, w, t um subconjunto linearmente independente de V. Mostre que o conjunto u+v+w+t, u-3 w, v+2 w+t, u-v é linearmente independente.

Passo 1

O enunciado diz que u,v,w,t é um conjunto linearmente independente em V e pede para mostrar que o conjunto
u+v+w+t,;u-3w,;v+2w+t,;u-v
também é linearmente independente. Vamos usar a definição de independência linear: uma combinação linear nula só pode ocorrer com todos os coeficientes iguais a zero.

Passo 2

Suponha que existam escalares a,b,c,dinBbb K (o corpo sobre o qual V está definido) tais que
a,(u+v+w+t)+b,(u-3w)+c,(v+2w+t)+d,(u-v)=0
Nosso objetivo é mostrar que a=b=c=d=0.

Passo 3

Expandindo a soma e agrupando em u,v,w,t, temos
a,u+a,v+a,w+a,t +b,u-3b,w +c,v+2c,w+c,t +d,u-d,v =0,
ou seja,
u,(a+b+d)+v,(a+c-d)+w,(a-3b+2c)+t,(a+c)=0

Passo 4

Como
Da última equação . Substituindo em , logo . Em vem . Finalmente, na equação substituímos e :
logo . Assim .

Passo 5

Concluímos que a única combinação linear que anula
u+v+w+t,;u-3w,;v+2w+t,;u-v
é a trivial, o que significa que esse conjunto é linearmente independente.

Resposta

O conjunto u+v+w+t,;u-3w,;v+2w+t,;u-v é linearmente independente.

Exercícios relacionados