Seja
um espaço vetorial e seja
um subconjunto linearmente independente de
. Mostre que o conjunto
é linearmente independente.
Passo 1
O enunciado diz que
é um conjunto linearmente independente em
e pede para mostrar que o conjunto
também é linearmente independente. Vamos usar a definição de independência linear: uma combinação linear nula só pode ocorrer com todos os coeficientes iguais a zero.
Passo 2
Suponha que existam escalares
(o corpo sobre o qual
está definido) tais que
Nosso objetivo é mostrar que
.
Passo 3
Expandindo a soma e agrupando em
, temos
ou seja,
Passo 4
Como
Da última equação . Substituindo em
dá
, logo
. Em
vem
. Finalmente, na equação
substituímos
e
:
logo
. Assim
.
Passo 5
Concluímos que a única combinação linear que anula
é a trivial, o que significa que esse conjunto é linearmente independente.
é a trivial, o que significa que esse conjunto é linearmente independente.
Resposta
O conjunto
é linearmente independente.