Seja u=(1,2) in R^2.
Determinar as coordenadas de u com relação à base B=(1,1),(3,2).

Passo 1

O enunciado pede para expressar o vetor u=(1,2) como combinação linear dos vetores da base
B = (1,1),,(3,2),
ou seja, encontrar escalares alpha e beta tais que
alpha,(1,1) ;+;beta,(3,2) ;=;(1,2)
O conteúdo é mudança de base em R^2, e precisamos montar e resolver um sistema linear a partir da igualdade de componentes.

Passo 2

Igualando componente a componente, obtemos o sistema
alpha + 3beta = 1, alpha + 2beta = 2

Passo 3

Subtraindo a segunda equação da primeira para eliminar alpha, temos
(alpha + 3beta) - (alpha + 2beta) = 1 - 2 Longrightarrow beta = -1

Passo 4

Substituindo beta = -1 em alpha + 2beta = 2, fica
alpha + 2(-1) = 2 Longrightarrow alpha = 4

Passo 5

Portanto, a combinação linear que representa u na base B é
u = 4,(1,1) + (-1),(3,2),
e as coordenadas de u em relação a B são (4,-1).

Resposta

[u]B = (4,-1)

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