Quais são as coordenadas de u=1+t+t^2 in P2(R) com relação à base B=1+t, 2 t, 3 t^2 ?

Passo 1

O enunciado pede as coordenadas de u=1+t+t^2 no espaço vetorial P2(R) em relação à base
B = ,1+t,;2t,;3t^2
Para isso, vamos usar o conceito de coordenadas: precisamos encontrar escalares c1,c2,c3 tais que
u = c1(1+t) + c2(2t) + c3(3t^2)

Passo 2

Escrevendo a combinação linear e agrupando os termos semelhantes em potências de t, temos
c1(1+t) + c2(2t) + c3(3t^2) = c1 + (c1 + 2c2),t + 3c3,t^2
Queremos que isso seja igual a
1 + t + t^2

Passo 3

Igualando coeficientes do polinômio à direita, obtemos o sistema
termo constante:& c1 = 1, coeficiente de t: & c1 + 2c2 = 1, coeficiente de t^2: & 3c3 = 1

Passo 4

Resolvendo cada equação:
c1 = 1,
1 + 2c2 = 1 ;Longrightarrow; 2c2 = 0 ;Longrightarrow; c2 = 0,
3c3 = 1 ;Longrightarrow; c3 = tfrac13

Resposta

As coordenadas de u em relação à base B são
l(c1,c2,c3r) = l(1,,0,,tfrac13r)

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