Determinar a matriz inversa da matriz:
E=[cccc-2 & -1 & 0 & 2 3 & 1 & -2 & -2 -4 & -1 & 2 & 3 3 & 1 & -1 & -2]

Passo 1

O enunciado pede a matriz inversa de
E = -2 & -1 & 0 & 2 3 & 1 & -2 & -2 -4 & -1 & 2 & 3 3 & 1 & -1 & -2
O conteúdo é inversão de matriz 4times4 por eliminação de Gauss–Jordan: aumentamos E com a identidade I4, fazemos operações elementares até obter a forma [I4mid E^-1].

Passo 2

Formamos o sistema aumentado [Emid I4]:
[cccc|cccc -2 & -1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 3 & 1 & -2 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 -4 & -1 & 2 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0 3 & 1 & -1 & -2 & 0 & 0 & 0 & 1 ]
Para simplificar, fazemos R4 R4 - R2, aproveitando que isso isola um 1 na coluna 3:
[cccc|cccc -2 & -1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 3 & 1 & -2 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 -4 & -1 & 2 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 ]

Passo 3

Trocamos R1rightarrow R2 para ter pivô não nulo em (1,1) e eliminamos a coluna 1 em R2 e R3 usando combinações lineares:
R2 R2 + tfrac23R1, R3 R3 + tfrac43R1
Isso leva a
[cccc|cccc 3 & 1 & -2 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & -tfrac13 & -tfrac43 & tfrac23 & 1 & tfrac23 & 0 & 0 0 & tfrac13 & -tfrac23 & tfrac13 & 0 & tfrac43 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 ]

Passo 4

Normalizamos as linhas 2 e 3 para ter pivôs iguais a 1 em (2,2) e (3,2):
R2 -3,R2, R3 3,R3,
obtendo
[cccc|cccc 3 & 1 & -2 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 4 & -2 & -3 & -2 & 0 & 0 0 & 1 & -2 & 1 & 0 & 4 & 3 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 ]

Passo 5

Eliminamos a coluna 2 em
e então (R_3\leftrightarrow R_4]. Isso dá

Passo 6

Usamos o pivô 1 em
Depois normalizamos dividindo por 3:

Passo 7

Por fim, eliminamos a coluna 4 em R2 usando R4:
R2 R2 + 2,R4,
chegando à forma [I4mid E^-1]. Lemos a parte direita como E^-1.

Resposta

E^-1 = 1 & -1 & 0 & 2 -1 & 2 & 2 & 0 0 & -1 & 0 & 1 1 & 0 & 1 & 2

Exercícios relacionados