Dadas as matrizes:
A=[rrr 3 & 4 & 1 -5 & -2 & -9 7 & 8 & 6 ], B=[rrr 4 & -1 & 3 3 & 0 & 1 7 & 2 & -4 ] e C=[rrr 2 & 6 & 8 3 & 9 & 12 -1 & -2 & -3 ]
calcular, pelo processo de triangulação ou pelo desenvolvimento de uma linha (ou coluna):
Verificar se det(B C)=det B times det C

Passo 1

O enunciado pede para verificar a propriedade
det(BC)=det(B)timesdet(C),
onde
B= 4 & -1 & 3 3 & 0 & 1 7 & 2 & -4 , C= 2 & 6 & 8 3 & 9 & 12 -1 & -2 & -3
Vamos calcular det(B), det(C) e det(BC) para confrontar.

Passo 2

Calculando det(B) por desenvolvimento na primeira linha:
det(B) =4cdotdet0 & 1 2 & -4 -(-1)cdotdet3 & 1 7 & -4 +3cdotdet3 & 0 7 & 2
Agora os menores:
det0 & 1 2 & -4 =0cdot(-4)-1cdot2=-2, det3 & 1 7 & -4 =3cdot(-4)-1cdot7=-19, det3 & 0 7 & 2 =3cdot2-0cdot7=6
Substituindo,
det(B) =4cdot(-2)-(-1)cdot(-19)+3cdot6 =-8-19+18=-9

Passo 3

Calculando det(C) por desenvolvimento na primeira linha:
det(C) =2cdotdet9 & 12 -2 & -3 -6cdotdet3 & 12 -1 & -3 +8cdotdet3 & 9 -1 & -2
Os menores são
det9 & 12 -2 & -3 =-3, det3 & 12 -1 & -3 =3, det3 & 9 -1 & -2 =3,
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det(C) =2cdot(-3)-6cdot3+8cdot3 =-6-18+24=0

Passo 4

Primeiro calculamos o produto BC:
BC= 2 & 9 & 11 5 & 16 & 21 24 & 68 & 92
Agora desenvolvemos det(BC) pela primeira linha:
det(BC) =2cdotdet16 & 21 68 & 92 -9cdotdet5 & 21 24 & 92 +11cdotdet5 & 16 24 & 68
Calculando os menores:
16cdot92-21cdot68=44, 5cdot92-21cdot24=-44, 5cdot68-16cdot24=-44,
então
det(BC)=2cdot44-9cdot(-44)+11cdot(-44)=88+396-484=0
Como det(B)=-9 e det(C)=0, temos
det(B)timesdet(C)=-9cdot0=0=det(BC)

Resposta

A igualdade det(BC)=det(B)timesdet(C) é confirmada, pois ambos os lados valem 0.

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