Dadas as matrizes A=[rr1 & -2 -2 & 3] e B=[rr-2 & 1 1 & 1], calcule:
A^t, B^t, A B,(A B)^t, e B^t A^t

Passo 1

O enunciado nos dá as matrizes
A = 1 & -2 -2 & 3, B = -2 & 1 1 & 1,
e pede as transpostas, o produto AB e depois as transpostas desse produto e a composição B^tA^t. Vamos usar a definição de transposta (trocar linhas por colunas) e a regra de multiplicação de matrizes.

Passo 2

Para obter A^t basta trocar linha por coluna em A. Como A é simétrica,
A^t = 1 & -2 -2 & 3

Passo 3

Da mesma forma, B também é simétrica, logo
B^t = -2 & 1 1 & 1

Passo 4

Agora calculamos AB usando a definição (AB)ij = sumk AikBkj. Temos
AB = 1cdot(-2) + (-2)cdot1 & 1cdot1 + (-2)cdot1 (-2)cdot(-2) + 3cdot1 & (-2)cdot1 + 3cdot1 = -4 & -1 7 & 1

Passo 5

A transposta de AB é
(AB)^t = -4 & 7 -1 & 1

Passo 6

Como B^t = B e A^t = A, calculamos
B^t,A^t = B,A = -2 & 1 1 & 1 1 & -2 -2 & 3 = -4 & 7 -1 & 1

Passo 7

Observamos que de fato
(AB)^t = B^t,A^t,
conforme a propriedade geral das transpostas de produto.

Resposta

A^t = 1 & -2 -2 & 3
B^t = -2 & 1 1 & 1
AB = -4 & -1 7 & 1
(AB)^t = -4 & 7 -1 & 1
B^t A^t = -4 & 7 -1 & 1

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