Identifique quais dos produtos abaixo definem um produto interno em R^3 :
c) lang<=(x1, x2, x3),(y1, y2, y3)rang<==2 x1 y1+2 x2 y1+2 x1 y2+2 x2 y2+x3 y3;

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
lang<= (x1,x2,x3),,(y1,y2,y3)rang<= =2x1y1+2x2y1+2x1y2+2x2y2+x3y3
define um produto interno em R^3. Para isso, precisamos checar bilinearidade, simetria e positividade definida.

Passo 2

Bilinearidade e simetria são imediatas pelo formato da soma de termos xi yj. Em particular, trocando (x,y) por (y,x) cada termo troca de posição mas mantém o mesmo valor (por exemplo 2x2y1 trocará com 2y2x1), e o termo x3y3 já é simétrico. Logo a forma é bilinear e simétrica.

Passo 3

Podemos escrever esse produto pelo matriz A tal que
lang<= x,yrang<= = x^TAy,
onde
A = 2 & 2 & 0 2 & 2 & 0 0 & 0 & 1
Note que A é simétrica.

Passo 4

Para ser produto interno, A deve ser definida positiva, ou seja, lang<= v,vrang<=>0 para todo vneq0. Considere
v = (1,-1,0)
Então
lang<= v,vrang<= =2cdot1cdot1 + 2cdot(-1)cdot1 + 2cdot1cdot(-1) + 2cdot(-1)cdot(-1) + 0 =2 -2 -2 +2 = 0
Encontramos um vetor não-nulo cuja “norma” é zero, logo a forma não é definida positiva.

Resposta

O produto não define um produto interno em R^3, pois falha na positividade definida.

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