Identifique quais dos produtos abaixo definem um produto interno em R^2 :
d) lang<=(x1, x2),(y1, y2)rang<==x1 y1+x2 y1+x1 y2+x2 y2;

Passo 1

O enunciado nos dá a aplicação
lang<= (x1, x2), (y1, y2) rang<= = x1 y1 + x2 y1 + x1 y2 + x2 y2
em R^2 e pede para verificar se isso é um produto interno. Para ser produto interno, precisamos checar três propriedades:
1. Bilinearidade (linearidade em cada argumento).
2. Simetria.
3. Positividade definida (i.e.\ lang<= x,x rang<= > 0 sempre que x neq 0).

Passo 2

Vamos reescrever convenientemente:
lang<=(x1,x2),(y1,y2)rang<= = x1y1 + x1y2 + x2y1 + x2y2 = (x1+x2)(y1+y2)
Dessa forma fica claro que a forma é bilinear em cada argumento (produto de termos lineares) e também simétrica, pois
(x1+x2)(y1+y2) = (y1+y2)(x1+x2)

Passo 3

Agora a positividade definida. Para x=(x1,x2) temos
lang<= x,xrang<= = (x1+x2)(x1+x2) = (x1+x2)^2>=0
Porém, se x1+x2=0 com xneq0 (por exemplo x=(1,-1)), então
lang<= x,xrang<= = 0
mesmo com xneq0. Isso viola a positividade estrita exigida para produto interno.

Resposta

A forma bilinear dada não é um produto interno em R^2.

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