Identifique quais dos produtos abaixo definem um produto interno em
:
d)
;
d)
Passo 1
O enunciado nos dá a aplicação
em
e pede para verificar se isso é um produto interno. Para ser produto interno, precisamos checar três propriedades:
. Bilinearidade (linearidade em cada argumento).
. Simetria.
. Positividade definida (i.e.\
sempre que
).
Passo 2
Vamos reescrever convenientemente:
Dessa forma fica claro que a forma é bilinear em cada argumento (produto de termos lineares) e também simétrica, pois
Passo 3
Agora a positividade definida. Para
temos
Porém, se
com
(por exemplo
), então
mesmo com
. Isso viola a positividade estrita exigida para produto interno.
Resposta
A forma bilinear dada não é um produto interno em
.