Sabendo que A^-1=[ll3 & 2 1 & 3] e B^-1=[rr2 & 5 3 & -2], obtenha A B.

Passo 1

O enunciado nos dá duas matrizes invertíveis A e B cujos inversos são
A^-1 = 3 & 21 & 3, B^-1 = 2 & 53 & -2,
e pede o produto AB. Vamos usar a propriedade do inverso de produto de matrizes.

Passo 2

A propriedade é
(AB)^-1 ;=; B^-1A^-1
Dessa forma podemos escrever
AB ;=; l(B^-1A^-1r)^-1

Passo 3

Primeiro calculamos o produto B^-1A^-1:
B^-1A^-1 =2 & 53 & -2 3 & 21 & 3 = 2cdot3 + 5cdot1 & 2cdot2 + 5cdot3 3cdot3 + (-2)cdot1 & 3cdot2 + (-2)cdot3 =11 & 197 & 0

Passo 4

Agora invertemos M = 11 & 197 & 0. O determinante é
det M = 11cdot0 - 19cdot7 = -133
A matriz adjunta (transposta da matriz de cofatores) é
adj(M) =0 & -19-7 & 11
Logo
M^-1 =1det M,adj(M) =1-1330 & -19-7 & 11 = 0 & tfrac19133[6pt] tfrac7133 & -tfrac11133
Simplificando as frações tfrac19133= tfrac17 e tfrac7133=tfrac119, obtemos
AB = M^-1 = 0 & tfrac17[4pt] tfrac119 & -tfrac11133 ]

Resposta

AB = 0 & tfrac17[4pt] tfrac119 & -tfrac11133 ]

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