Dadas as matrizes A=[rr1 & -3 2 & 5] e B=[ll1 & 4 0 & 2], calcule:
a. A^2
b. B^3
c. A^2 B^3

Passo 1

O enunciado fornece as matrizes
A = 1 & -3[6pt] 2 & 5, B = 1 & 4[6pt] 0 & 2
e pede (a) o quadrado de A, (b) o cubo de B e (c) o produto A^2B^3. Vamos usar a definição de multiplicação de matrizes e a propriedade de potências ( A^2=Acdot A, B^3=B^2cdot B).]

Passo 2

Para calcular
A^2 = Acdot A
usamos que cada entrada (i,j) de A^2 é a soma dos produtos dos elementos da linha i de A pelos da coluna j de A. Fazendo as contas para as quatro entradas, obtemos
A^2 = 1cdot1 + (-3)cdot2 & 1cdot(-3) + (-3)cdot5[6pt] 2cdot1 + 5cdot2 & 2cdot(-3) + 5cdot5 = -5 & -18[6pt] 12 & 19 ]

Passo 3

Primeiro calculamos
B^2 = Bcdot B = 1cdot1 + 4cdot0 & 1cdot4 + 4cdot2[6pt] 0cdot1 + 2cdot0 & 0cdot4 + 2cdot2 = 1 & 12[6pt] 0 & 4
Em seguida
B^3 = B^2cdot B = 1cdot1 + 12cdot0 & 1cdot4 + 12cdot2[6pt] 0cdot1 + 4cdot0 & 0cdot4 + 4cdot2 = 1 & 28[6pt] 0 & 8 ]

Passo 4

Para obter
A^2 B^3 = -5 & -18[6pt] 12 & 19 1 & 28[6pt] 0 & 8 ,
calculamos as entradas:
l(A^2B^3r)11 = -5cdot1 + (-18)cdot0 = -5, l(A^2B^3r)12 = -5cdot28 + (-18)cdot8 = -140 -144 = -284,
l(A^2B^3r)21 = 12cdot1 + 19cdot0 = 12, l(A^2B^3r)22 = 12cdot28 + 19cdot8 = 336 +152 = 488
Logo
A^2B^3 = -5 & -284[6pt] 12 & 488 ]

Resposta

a. A^2 = -5 & -1812 & 19
b. B^3 = 1 & 280 & 8
c. A^2B^3 = -5 & -28412 & 488

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