Seja T: R^3 M2(R) uma transformação linear tal que T(1,1,1)=(ll0 & 2 0 & 1), T(1,0,-1)=(cc1 & -2 -1 & 0) e T(0,1,0)=(cc-1 & 0 1 & -1).
Determine T(x, y, z).

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear TcolonR^3to M2(R) e fornece
T(1,1,1)=0&20&1, T(1,0,-1)=1&-2-1&0, T(0,1,0)=-1&01&-1
O conteúdo usado será a representação de um vetor qualquer (x,y,z) numa base e a linearidade de T.

Passo 2

Verificamos que ,(1,1,1),,(1,0,-1),,(0,1,0), são independentes e formam base. Então escrevemos
(x,y,z)=a,(1,1,1)+b,(1,0,-1)+c,(0,1,0)
que leva ao sistema
a+b = x, a+c = y, a-b = z
Dessas equações obtemos
a=x+z2, b=x-z2, c=2y - x - z2

Passo 3

Pela linearidade,
T(x,y,z)=a,T(1,1,1)+b,T(1,0,-1)+c,T(0,1,0)
Substituindo os valores de a,b,c e as matrizes fornecidas, temos
T(x,y,z) =12l((x+z)0&20&1 +(x-z)1&-2-1&0 +(2y - x - z)-1&01&-1r)

Passo 4

Bastam operações de soma e multiplicação escalar em cada entrada para chegar a
T(x,y,z) = x - y & 2z y - x & x + z - y

Resposta

T(x,y,z) = x - y & 2z y - x & x + z - y

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