Determine todas as matrizes que comutam com A, em cada caso:
A=[ll0 & 1 3 & 1]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as matrizes Bin M2(R) que comutam com
A = 0 & 1 3 & 1,
ou seja, todas as B tais que
AB = BA
O conteúdo aqui é resolver um sistema linear sobre as entradas de B.

Passo 2

Seja
B = a & b c & d
Calculamos
AB = 0 & 1 3 & 1a & b c & d = c & d 3a + c & 3b + d,
BA = a & b c & d0 & 1 3 & 1 = 3b & a + b 3d & c + d

Passo 3

Impor
As duas últimas equações são redundantes (se verificam automaticamente quando ).

Passo 4

Logo, as únicas restrições são
c = 3b, d = a + b,
com a,binR livres. Portanto todas as soluções são
B = a & b [6pt] 3b & a + b (a,binR)
Note que isso coincide com
B = a,I + b,A,
isto é, o comutante de A é exatamente o conjunto dos polinômios em A.
]

Resposta

Todas as matrizes que comutam com A são
B = a & b [4pt] 3b & a + b, a,binR
]

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