As matrizes A=[lll0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0] e B=[ll3 & -9 1 & -3] são nihilpotentes. Determine o índice de cada uma.

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes nilpotentes
A = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 , B = 3 & -9 1 & -3
e pede o índice de nilpotência de cada uma. O índice de nilpotência de uma matriz M é o menor inteiro positivo k tal que M^k = 0.

Passo 2

Vamos calcular potências de A.
Multiplicando A por si mesma:
A^2 = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 = 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0
Vemos que A^2neq 0.

Passo 3

Agora calculemos A^3:
A^3 = A^2 ,A = 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0
Portanto, a menor potência que zera A é 3, logo o índice de A é 3.

Passo 4

Agora para B. Primeiro notamos que tr(B)=3+(-3)=0 e det(B)=(3)(-3)-(-9)(1)=0, então o polinômio característico é lambda^2 e B é nilpotente de ordem até 2. Vamos verificar:
B^2 = 3 & -9 1 & -3 3 & -9 1 & -3 = 3cdot3 +(-9)cdot1 & 3cdot(-9)+(-9)cdot(-3) 1cdot3 +(-3)cdot1 & 1cdot(-9)+(-3)cdot(-3) = 0 & 0 0 & 0
Como Bneq 0 mas B^2=0, o índice de nilpotência de B é 2.

Resposta

Índice de nilpotência de A: 3
Índice de nilpotência de B: 2

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