As matrizes A=[lll0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0] e B=[ll3 & -9 1 & -3] são nihilpotentes. Determine o índice de cada uma. Passo 1O enunciado dá duas matrizes nilpotentes A = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 , B = 3 & -9 1 & -3 e pede o índice de nilpotência de cada uma. O índice de nilpotência de uma matriz M é o menor inteiro positivo k tal que M^k = 0. Passo 2Vamos calcular potências de A. Multiplicando A por si mesma: A^2 = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 = 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 Vemos que A^2neq 0. Passo 3Agora calculemos A^3: A^3 = A^2 ,A = 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 Portanto, a menor potência que zera A é 3, logo o índice de A é 3. Passo 4Agora para B. Primeiro notamos que tr(B)=3+(-3)=0 e det(B)=(3)(-3)-(-9)(1)=0, então o polinômio característico é lambda^2 e B é nilpotente de ordem até 2. Vamos verificar: B^2 = 3 & -9 1 & -3 3 & -9 1 & -3 = 3cdot3 +(-9)cdot1 & 3cdot(-9)+(-9)cdot(-3) 1cdot3 +(-3)cdot1 & 1cdot(-9)+(-3)cdot(-3) = 0 & 0 0 & 0 Como Bneq 0 mas B^2=0, o índice de nilpotência de B é 2. RespostaÍndice de nilpotência de A: 3 Índice de nilpotência de B: 2 MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosDadas as matrizes A=[rr1 & -3 2 & 5] e B=[ll1 & 4 0 & 2], calcule: a. A^2 b. B^3 c. A^2 B^3 Determine todas as matrizes que comutam com A, em cada caso: A=[ll0 & 1 3 & 1] Seja T: R^3 M2(R) uma transformação linear tal que T(1,1,1)=(ll0 & 2 0 & 1), T(1,0,-1)=(cc1 & -2 -1 & 0) e T(0,1,0)=(cc-1 & 0 1 & -1). Determine T(x, y, z). Determine os valores máximos e mínimos para as dimensões do núcleo e da imagem de cada uma das T.L a seguir. T: R^5 R^5,