Determine todas as matrizes que comutam com A, em cada caso:
A=[ll1 & 2 4 & 5]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar todas as matrizes que comutam com a matriz A = 1 & 2 4 & 5 . Isso significa que queremos todas as matrizes X que, quando multiplicadas por A , dão o mesmo resultado se a gente trocar a ordem, ou seja, XA = AX . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente a ideia de comutação de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a matriz X também é uma matriz 2x2, então podemos escrever X = a & b c & d , onde a, b, c, d são números que a gente precisa descobrir. Nosso objetivo é encontrar valores para esses elementos que satisfaçam a condição XA = AX .

Passo 3

Vamos calcular XA e AX separadamente.
Calculando XA :
XA = a & b c & d 1 & 2 4 & 5 = a cdot 1 + b cdot 4 & a cdot 2 + b cdot 5 c cdot 1 + d cdot 4 & c cdot 2 + d cdot 5 = a + 4b & 2a + 5b c + 4d & 2c + 5d
Calculando AX :
AX = 1 & 2 4 & 5 a & b c & d = 1 cdot a + 2 cdot c & 1 cdot b + 2 cdot d 4 cdot a + 5 cdot c & 4 cdot b + 5 cdot d = a + 2c & b + 2d 4a + 5c & 4b + 5d

Passo 4

Agora, para que XA = AX , cada elemento correspondente das duas matrizes deve ser igual. Então, vamos igualar os elementos:
  1. a + 4b = a + 2c 4b = 2c c = 2b
  2. 2a + 5b = b + 2d 2a + 4b = 2d d = a + 2b
  3. c + 4d = 4a + 5c ⟹ Substituindo c = 2b e d = a + 2b :
2b + 4(a + 2b) = 4a + 5(2b) 2b + 4a + 8b = 4a + 10b 4a + 10b = 4a + 10b
Esse passo só confirma que as relações já encontradas são consistentes.
4. 2c + 5d = 4b + 5d 2c = 4b c = 2b (mesmo que já tínhamos)

Passo 5

Então, a gente descobriu que c = 2b e d = a + 2b . Isso significa que a matriz X que comuta com A pode ser escrita em termos de a e b :
X = a & b 2b & a + 2b
Aqui, a e b podem ser quaisquer números reais. Ou seja, todas as matrizes que comutam com A têm essa forma.

Resposta

Todas as matrizes que comutam com A são da forma a & b 2b & a + 2b , onde a e b são quaisquer números reais.

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