Determine todas as matrizes que comutam , em cada caso:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar todas as matrizes que comutam com a matriz A = 1 & 2 4 & 5 . Isso significa que queremos todas as matrizes X que, quando multiplicadas por A , dão o mesmo resultado se a gente trocar a ordem, ou seja, XA = AX . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente a ideia de comutação de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a matriz X também é uma matriz 2x2, então podemos escrever X = a & b c & d , onde a, b, c, d são números que a gente precisa descobrir. Nosso objetivo é encontrar valores para esses elementos que satisfaçam a condição XA = AX .
Passo 3
Vamos calcular XA e AX separadamente.
Calculando XA :
XA = a & b c & d 1 & 2 4 & 5 = a cdot 1 + b cdot 4 & a cdot 2 + b cdot 5 c cdot 1 + d cdot 4 & c cdot 2 + d cdot 5 = a + 4b & 2a + 5b c + 4d & 2c + 5d
Calculando AX :
AX = 1 & 2 4 & 5 a & b c & d = 1 cdot a + 2 cdot c & 1 cdot b + 2 cdot d 4 cdot a + 5 cdot c & 4 cdot b + 5 cdot d = a + 2c & b + 2d 4a + 5c & 4b + 5d
Passo 4
Agora, para que XA = AX , cada elemento correspondente das duas matrizes deve ser igual. Então, vamos igualar os elementos:
a + 4b = a + 2c ⟹ 4b = 2c ⟹ c = 2b
2a + 5b = b + 2d ⟹ 2a + 4b = 2d ⟹ d = a + 2b
c + 4d = 4a + 5c ⟹ Substituindo c = 2b e d = a + 2b :