Dadas as matrizes
a=[ccc 1 & -1 & 2 3 & 2 & -1 ], b=[ccc 2 & 3 & 0 -2 & -3 & 1 ], c=[ccc -4 & -8 & 4 12 & 13 & 1 ]:
a) Calcule a matriz 3 a-2 b+c;
b) Ache os números alpha e beta, ambos diferentes de zero, tais que alpha a+beta b+c tenha a primeira coluna nula.

Passo 1

O enunciado dá três matrizes a,b,c de tamanho 2times3 e pede:
(a) calcular a combinação 3a-2b+c, e
(b) encontrar alpha,betaneq0 tais que a primeira coluna de alpha a+beta b+c seja o vetor nulo.
Vamos usar multiplicação escalar e soma de matrizes elemento a elemento e depois montar um sistema linear para alpha,beta.

Passo 2

Calculamos 3a e 2b escalando cada entrada de a por 3 e de b por 2:
3a = 3cdot1 & 3cdot(-1) & 3cdot2 3cdot3 & 3cdot2 & 3cdot(-1) = 3 & -3 & 6 9 & 6 & -3 ,
2b = 2cdot2 & 2cdot3 & 2cdot0 2cdot(-2) & 2cdot(-3) & 2cdot1 = 4 & 6 & 0 -4 & -6 & 2

Passo 3

Subtraímos 2b de 3a e então somamos c:
3a - 2b = 3-4 & -3-6 & 6-0 9-(-4) & 6-(-6) & -3-2 = -1 & -9 & 6 13 & 12 & -5 ,
3a - 2b + c = -1 + (-4) & -9 + (-8) & 6 + 4 13 + 12 & 12 + 13 & -5 + 1 = -5 & -17 & 10 25 & 25 & -4

Passo 4

Para a parte (b), só nos interessa a primeira coluna de alpha a+beta b+c. Essa coluna é
alphacdot1 + betacdot2 + (-4) alphacdot3 + betacdot(-2) + 12 = alpha + 2beta -4 3alpha -2beta +12
Queremos que ela seja 00, gerando o sistema
alpha + 2beta = 4, 3alpha - 2beta = -12

Passo 5

Somando as duas equações:
(alpha+2beta)+(3alpha-2beta)=4+(-12) implies 4alpha=-8 implies alpha=-2
Substituindo em alpha+2beta=4:
-2 + 2beta = 4 implies 2beta=6 implies beta=3
Os dois são diferentes de zero, conforme exigido.

Resposta

(a)
3a-2b+c = -5 & -17 & 10 25 & 25 & -4
(b)
alpha=-2, beta=3

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