Calcule A cdot B e B cdot A. As matrizes são comutativas quanto a multiplicação? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de multiplicação de matrizes! A questão nos dá duas matrizes:
A = 2 & -1 3 & 4 , B = 1 & 2 -2 & 3
Nosso objetivo é calcular A cdot B e B cdot A, e verificar se elas são comutativas, ou seja, se A cdot B = B cdot A.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como multiplicar duas matrizes. Para multiplicar uma matriz C de tamanho m times n por uma matriz D de tamanho n times p, o resultado será uma matriz E de tamanho m times p. Cada elemento de E é obtido fazendo a soma dos produtos dos elementos correspondentes das linhas de C pelas colunas de D.
Passo 3
Vamos calcular A cdot B primeiro.
A matriz A é 2x2 e a matriz B também é 2x2, então o resultado será uma matriz 2x2.
Vamos calcular cada elemento de A cdot B:
Elemento na posição (1,1):
(2 times 1) + (-1 times -2) = 2 + 2 = 4
Elemento na posição (1,2):
(2 times 2) + (-1 times 3) = 4 - 3 = 1
Elemento na posição (2,1):
(3 times 1) + (4 times -2) = 3 - 8 = -5
Elemento na posição (2,2):
(3 times 2) + (4 times 3) = 6 + 12 = 18
Portanto,
A cdot B = 4 & 1 -5 & 18
Passo 4
Agora, vamos calcular B cdot A.
Mesma ideia: multiplicar cada linha de B pelas colunas de A.
Elemento na posição (1,1):
(1 times 2) + (2 times 3) = 2 + 6 = 8
Elemento na posição (1,2):
(1 times -1) + (2 times 4) = -1 + 8 = 7
Elemento na posição (2,1):
(-2 times 2) + (3 times 3) = -4 + 9 = 5
Elemento na posição (2,2):
(-2 times -1) + (3 times 4) = 2 + 12 = 14
Portanto,
B cdot A = 8 & 7 5 & 14
Passo 5
Agora que calculamos A cdot B e B cdot A, vamos comparar os resultados:
A cdot B = 4 & 1 -5 & 18
B cdot A = 8 & 7 5 & 14
Como podemos ver, A cdot B é diferente de B cdot A. Isso significa que a multiplicação dessas matrizes não é comutativa.
Resposta
A cdot B = 4 & 1 -5 & 18 , B cdot A = 8 & 7 5 & 14
As matrizes A e Bnão são comutativas quanto à multiplicação, pois A cdot B neq B cdot A.