Determine a interseção do parabolóide hiperbólico
com o plano
e identifique a cônica correspondente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar onde o parabolóide hiperbólico
intercepta o plano
. Além disso, vamos identificar qual cônica resulta dessa interseção. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre interseções de superfícies e identificação de cônicas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa encontrar a interseção entre o parabolóide
e o plano
. Isso quer dizer que queremos os pontos que satisfazem as duas equações ao mesmo tempo. Ou seja, vamos substituir
na equação do parabolóide.
Passo 3
Vamos substituir
por
na equação de
:
Passo 4
Agora, vamos reorganizar essa equação para facilitar a identificação da cônica. Primeiro, vamos multiplicar todos os termos por 16 para eliminar os denominadores:
Passo 5
Vamos rearranjar a equação para deixá-la em um formato mais familiar:
Podemos escrever isso como:
Passo 6
Observando a equação
, percebemos que ela representa uma hipérbole. Geralmente, a equação de uma hipérbole na forma canônica é:
No nosso caso, temos o lado direito igual a
, o que sugere uma hipérbole com os eixos invertidos.
Passo 7
Para deixar a equação na forma padrão da hipérbole, podemos multiplicar ambos os lados por
:
Ou seja:
Essa é a forma padrão de uma hipérbole que abre ao longo do eixo
.
Resposta
A interseção é uma hipérbole definida por
.