Determine a interseção do parabolóide hiperbólico S: y=x^216-z^28 com o plano pi: y=-1 e identifique a cônica correspondente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar onde o parabolóide hiperbólico S: y = x^216 - z^28 intercepta o plano pi: y = -1 . Além disso, vamos identificar qual cônica resulta dessa interseção. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre interseções de superfícies e identificação de cônicas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar a interseção entre o parabolóide S e o plano pi . Isso quer dizer que queremos os pontos que satisfazem as duas equações ao mesmo tempo. Ou seja, vamos substituir y = -1 na equação do parabolóide.

Passo 3

Vamos substituir y por -1 na equação de S :
-1 = x^216 - z^28

Passo 4

Agora, vamos reorganizar essa equação para facilitar a identificação da cônica. Primeiro, vamos multiplicar todos os termos por 16 para eliminar os denominadores:
-16 = x^2 - 2z^2

Passo 5

Vamos rearranjar a equação para deixá-la em um formato mais familiar:
x^2 - 2z^2 = -16
Podemos escrever isso como:
x^216 - z^28 = -1

Passo 6

Observando a equação x^216 - z^28 = -1, percebemos que ela representa uma hipérbole. Geralmente, a equação de uma hipérbole na forma canônica é:
x^2a^2 - z^2b^2 = 1
No nosso caso, temos o lado direito igual a -1, o que sugere uma hipérbole com os eixos invertidos.

Passo 7

Para deixar a equação na forma padrão da hipérbole, podemos multiplicar ambos os lados por -1:
-x^216 + z^28 = 1
Ou seja:
z^28 - x^216 = 1
Essa é a forma padrão de uma hipérbole que abre ao longo do eixo z .

Resposta

A interseção é uma hipérbole definida por z^28 - x^216 = 1 .

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