Faça a identificação entre as cônicas e suas equações, preenchendo com a letra correspondente a lacuna à esquerda de cada cônica.
a) x^2+y^2-8 x+12=0
( )Parábola
b) x^2-2 x-6 y-8=0
( ) Circunferência
c) 9 x^2-4 y^2-18 x-24 y-63=0
( )Hipérbole
d) x^2-2 y^2=0
( )Retas concorrentes

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para identificar que tipo de cônica cada equação representa. As cônicas envolvidas são Parábola, Circunferência, Hipérbole e Retas Concorrentes. Para resolver isso, vamos precisar reconhecer a forma geral de cada cônica e comparar com as equações dadas. Vamos examinar cada equação uma por uma e ver a qual tipo de cônica elas correspondem.

Passo 2

Vamos começar com a equação a): x^2 + y^2 - 8x + 12 = 0 .
Primeiro, percebemos que os termos x^2 e y^2 estão presentes e têm os mesmos coeficientes (ambos 1). Isso sugere que possivelmente seja uma circunferência, porque a equação geral da circunferência é (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 , onde h e k são as coordenadas do centro e r é o raio. Vamos completar o quadrado para ver:
x^2 - 8x + y^2 = -12
Para x :
x^2 - 8x = (x - 4)^2 - 16
Substituindo de volta:
(x - 4)^2 - 16 + y^2 = -12
(x - 4)^2 + y^2 = 4
Isso está na forma de uma circunferência com centro em (4, 0) e raio 2.

Passo 3

Agora, a equação b): x^2 - 2x - 6y - 8 = 0 .
Aqui, temos apenas x^2 , o que geralmente indica uma parábola, já que as parábolas têm apenas um termo quadrático. A forma geral da parábola que abre para cima ou para baixo é y = ax^2 + bx + c . Vamos reorganizar a equação:
x^2 - 2x = 6y + 8
y = 16x^2 - 13x - 43
Isso confirma que é uma parábola que abre para cima.

Passo 4

Vamos para a equação c): 9x^2 - 4y^2 - 18x - 24y - 63 = 0 .
Aqui, temos x^2 e y^2 com sinais diferentes, o que é característico de uma hipérbole. A equação geral da hipérbole é (x - h)^2a^2 - (y - k)^2b^2 = 1 . Vamos completar os quadrados:
9x^2 - 18x - 4y^2 - 24y = 63
Para x :
9(x^2 - 2x) = 9[(x - 1)^2 - 1] = 9(x - 1)^2 - 9
Para y :
-4(y^2 + 6y) = -4[(y + 3)^2 - 9] = -4(y + 3)^2 + 36
Substituindo de volta:
9(x - 1)^2 - 9 - 4(y + 3)^2 + 36 = 63
9(x - 1)^2 - 4(y + 3)^2 + 27 = 63
9(x - 1)^2 - 4(y + 3)^2 = 36
Dividindo tudo por 36:
(x - 1)^24 - (y + 3)^29 = 1
Isso confirma que é uma hipérbole.

Passo 5

Por fim, a equação d): x^2 - 2y^2 = 0 .
Aqui, temos x^2 e y^2 com sinais diferentes e a soma delas igual a zero. Vamos reescrever:
x^2 = 2y^2
x^22 - y^2 = 0
Podemos fatorar essa equação como:
(x/raiz2 - y)(x/raiz2 + y) = 0
Isso representa duas retas: y = xraiz2 e y = -xraiz2 , que são retas concorrentes.

Resposta

a) Circunferência
b) Parábola
c) Hipérbole
d) Retas concorrentes

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