Dadas duas matrizes X e Y, sempre existem X cdot Y e Y cdot X ?
Passo 1
O enunciado dá duas matrizes
A=4 & -2 & 0 [6pt] 2 & 3 & -1
de tamanho 2times3 e
B=1 & 3 [4pt] -2 & 0 [4pt] 2 & 1
de tamanho 3times2, e pede: 1. O elemento c21 do produto C=Acdot B. 2. Se Acdot B é igual a Bcdot A. 3. Se, para matrizes genéricas X e Y, sempre existem Xcdot Y e Ycdot X.
Vamos usar a definição de multiplicação de matrizes: o elemento cij de C=Acdot B é o produto escalar da linha i de A pela coluna j de B.]
Passo 2
Para achar ;c21; pegamos a segunda linha de A, que é (2,,3,,-1), e a primeira coluna de B, que é (1,,-2,,2)^T. O produto escalar dá
c21=2cdot1 ;+;3cdot(-2);+;(-1)cdot2 =2-6-2=-6
Passo 3
O produto Acdot B existe (pois A é 2times3 e B é 3times2) e resulta numa matriz 2times2. Já Bcdot A existe também (pois B é 3times2 e A é 2times3) e resulta numa matriz 3times3. Como as dimensões de Acdot B e Bcdot A são diferentes, obviamente não podem ser iguais. Logo
Acdot B neq Bcdot A
Passo 4
Em geral, dadas duas matrizes X de tamanho mtimes n e Y de tamanho ptimes q, o produto Xcdot Y existe somente se n=p, e o produto Ycdot X existe somente se q=m. Não há garantia de que ambos existam simultaneamente, a menos que m=n=p=q (ou seja, que ambas sejam quadradas do mesmo tamanho) ou que seus tamanhos satisfaçam as duas condições n=p e q=m.
Resposta
1. ,c21=-6 2. ,Acdot Bneq Bcdot A 3. Não: Xcdot Y e Ycdot X existem apenas se as dimensões se encaixarem (n=p para Xcdot Y e q=m para Ycdot X).