Dadas duas matrizes X e Y, sempre existem X cdot Y e Y cdot X ?
Definição
Se duas matrizes A e B são tais que A cdot B=B cdot A, diz-se que A e B comutam.
Exemplo:
A=[ll2 & 3 1 & 1]
B=[rr-1 & 3 1 & -2]
Passo 1
O enunciado dá duas matrizes
A=4 & -2 & 0 2 & 3 & -1 (de ordem 2times3)
e
B=1 & 3 -2 & 0 2 & 1 (de ordem 3times2)
Pede-se:
O elemento c21 da matriz C=Acdot B.
Se Acdot B=Bcdot A.
Em geral, dadas duas matrizes X e Y, sempre existem Xcdot Y e Ycdot X?
Para resolver isso precisamos usar definição de multiplicação de matrizes (produto linha–coluna) e a condição de existência do produto.
Passo 2
Para achar c21 tomamos a 2ª linha de A e a 1ª coluna de B e fazemos o produto escalar:
linha2(A) = (2,;3,;-1), col1(B) = 1-22
Logo
c21 =2cdot1 + 3cdot(-2) + (-1)cdot2 =2 -6 -2 =-6
Passo 3
O produto Acdot B existe porque o número de colunas de A (que é 3) coincide com o número de linhas de B (que é 3), resultando numa matriz 2times2.
Já o produto Bcdot A existe porque B é 3times2 e A é 2times3, resultando numa matriz 3times3.
Como Acdot B é 2times2 e Bcdot A é 3times3, eles não têm a mesma forma e portanto
Acdot B neq Bcdot A
Logo, A e B não comutam.
Passo 4
Em geral, para duas matrizes X de ordem mtimes n e Y de ordem ptimes q:
O produto Xcdot Y só existe se n=p, e então é de ordem mtimes q.
O produto Ycdot X só existe se q=m, e então é de ordem ptimes n.
Portanto não é garantido que ambos Xcdot Y e Ycdot X existam simultaneamente, a menos que m=n=p=q (caso quadrado de mesma dimensão).
Resposta
-6
Não, Acdot Bneq Bcdot A.
Não. Só existem ambos os produtos se as dimensões forem compatíveis (isto é, se colunas de uma igualarem linhas da outra e vice-versa).