Dadas as matrizes A=[rrr4 & -2 & 0 2 & 3 & -1] e B=[rr1 & 3 -2 & 0 2 & 1].
  1. Calcule c21, sendo C=A cdot B.
  2. A cdot B=B cdot A ?
  3. Dadas duas matrizes X e Y, sempre existem X cdot Y e Y cdot X ?
Definição
Se duas matrizes A e B são tais que A cdot B=B cdot A, diz-se que A e B comutam.
Exemplo:
  • A=[ll2 & 3 1 & 1]
  • B=[rr-1 & 3 1 & -2]

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes
A=4 & -2 & 0 2 & 3 & -1 (de ordem 2times3)
e
B=1 & 3 -2 & 0 2 & 1 (de ordem 3times2)
Pede-se:
  1. O elemento c21 da matriz C=Acdot B.
  2. Se Acdot B=Bcdot A.
  3. Em geral, dadas duas matrizes X e Y, sempre existem Xcdot Y e Ycdot X?
Para resolver isso precisamos usar definição de multiplicação de matrizes (produto linha–coluna) e a condição de existência do produto.

Passo 2

Para achar c21 tomamos a 2ª linha de A e a 1ª coluna de B e fazemos o produto escalar:
linha2(A) = (2,;3,;-1), col1(B) = 1-22
Logo
c21 =2cdot1 + 3cdot(-2) + (-1)cdot2 =2 -6 -2 =-6

Passo 3

O produto Acdot B existe porque o número de colunas de A (que é 3) coincide com o número de linhas de B (que é 3), resultando numa matriz 2times2.
Já o produto Bcdot A existe porque B é 3times2 e A é 2times3, resultando numa matriz 3times3.
Como Acdot B é 2times2 e Bcdot A é 3times3, eles não têm a mesma forma e portanto
Acdot B neq Bcdot A
Logo, A e B não comutam.

Passo 4

Em geral, para duas matrizes X de ordem mtimes n e Y de ordem ptimes q:
  • O produto Xcdot Y só existe se n=p, e então é de ordem mtimes q.
  • O produto Ycdot X só existe se q=m, e então é de ordem ptimes n.
    Portanto não é garantido que ambos Xcdot Y e Ycdot X existam simultaneamente, a menos que m=n=p=q (caso quadrado de mesma dimensão).

Resposta

  1. -6
  2. Não, Acdot Bneq Bcdot A.
  3. Não. Só existem ambos os produtos se as dimensões forem compatíveis (isto é, se colunas de uma igualarem linhas da outra e vice-versa).

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