Questão 2. Considere a matriz A in R^4 times 4, tal que det(B)=3.
A=[cccc -1 & 2 & 1 & 1 0 & 2 & -1 & 2 -1 & -2 & 2 & 1 2 & 3 & 4 & -1 ]
a) (Valor 1,0) Calcule o determinante da matriz A pelo Teorema de Laplace.
b) Determine det(-2 A)
c) Determine det((3 A)^-1)
d) Determine det(2 A B^-1)
e) Determine det(B A^-1)

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente tem a matriz
em e sabe que . Precisa-se calcular:
a) pelo Teorema de Laplace,
b) ,
c) ,
d) ,
e) .
Conteúdo envolvido:
  • Definição de determinante e Teorema de Laplace (expansão por cofatores).
  • Propriedades:
    1. para .
    2. .
    3. .
O que vamos usar: cálculo de cofatores para e, depois, essas propriedades para as demais alíneas.

Passo 2

Calcular det(A) por Laplace ao longo da 2ª linha.
Fórmula geral:
det(A)=sumj=1^4 a2j,C2j, C2j=(-1)^2+jdet(M2j),
onde M2j é o menor 3×3 obtido riscando linha 2 e coluna j.
  1. Para j=2: a22=2,
M22= -1 & 1 & 1 -1 & 2 & 1 2 & 4 & -1 ,
det(M22) (regra do 3×3)
=(-1)l((2cdot(-1))-(1cdot4)r) -1l((-1cdot(-1))-(1cdot2)r) +1l((-1cdot4)-(2cdot2)r) = -1
Então C22=(-1)^4cdot(-1)=-1 e o termo é 2cdot(-1)=-2.
  1. Para j=3: a23=-1,
M23= -1 & 2 & 1 -1 & -2 & 1 2 & 3 & -1 ,
det(M23) =-1l((-2cdot(-1))-(1cdot3)r) -2l((-1cdot(-1))-(1cdot2)r) +1l((-1cdot3)-(-2cdot2)r) =4
Então C23=(-1)^5cdot4=-4 e o termo é (-1)cdot(-4)=4.
  1. Para j=4: a24=2,
M24= -1 & 2 & 1 -1 & -2 & 2 2 & 3 & 4 ,
det(M24) =-1l((-2cdot4)-(2cdot3)r) -2l((-1cdot4)-(2cdot2)r) +1l((-1cdot3)-(-2cdot2)r) =31
Então C24=(-1)^6cdot31=31 e o termo é 2cdot31=62.
Somando tudo:
det(A)=(-2)+4+62=64

Passo 3

Usar det(cA)=c^ndet(A) com c=-2 e n=4:
det(-2A)=(-2)^4det(A)=16cdot64=1024

Passo 4

Para detl((3A)^-1r), usamos
det(M^-1)=1/det(M) e det(3A)=3^4det(A).
Logo
detl((3A)^-1r) =1det(3A) =13^4det(A) =181cdot64 =15184

Passo 5

Para det(2AB^-1), escrevemos
det(2AB^-1)=det(2A),det(B^-1).
Sabemos det(2A)=2^4det(A)=16cdot64 e det(B^-1)=1/det(B)=1/3.
Então
det(2AB^-1) =16cdot64cdot13 =10243

Passo 6

Para det(BA^-1), usamos det(BA^-1)=det(B),det(A^-1).
Assim
det(BA^-1) =3cdot164 =364

Resposta

(a) det(A)=64
(b) det(-2A)=1024
(c) detl((3A)^-1r)=tfrac15184
(d) detl(2AB^-1r)=tfrac10243
(e) detl(BA^-1r)=tfrac364

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