Questão 3. (Valor 1,0) Determine o conjunto solução sistema, através do escalonamento, e classifique-o.
Passo 1
Beleza, aqui a parada é um sistema de 3 equações lineares com 3 incógnitas:
O conteúdo é “sistemas lineares” e vamos usar o método de escalonamento (eliminação de Gauss). O que precisamos?
- Montar a matriz aumentada.
- Fazer operações elementares de linha (trocar linha, multiplicar linha por escalar, somar múltiplos de linhas) até chegar numa forma triangular.
- Voltar às equações e resolver por substituição.
Passo 2
Primeiro escrevemos a matriz aumentada do sistema:
Teoria rápida: cada linha é uma equação, cada coluna (antes da barra) corresponde a
x,y,z e a última coluna é o termo independente. Queremos zerar tudo abaixo do pivô (o primeiro elemento não nulo da linha) usando operações de linha.
Para facilitar, trocamos a linha 1 com a linha 2 (porque ela já tem 1 como primeiro elemento):
Agora, zeramos a coluna 1 abaixo do pivô (que é 1 na nova linha 1):
- Linha 2 ← Linha 2 − 2·Linha 1
- Linha 3 ← Linha 3 − 2·Linha 1
Resulta em
Passo 3
Seguimos para o próximo pivô, que está na posição (2,2) e vale
-7 . Primeiro normalizamos essa linha dividindo por
-7 :
Agora zeramos abaixo do pivô da coluna 2:
- Linha 3 ← Linha 3 + 1·Linha 2
Fica
Chegamos a uma forma triangular onde cada linha tem um pivô diferente de zero.
Passo 4
Da matriz triangular a gente lê as equações assim:
-
1cdot x + 1cdot y + 1cdot z = 0 -
1cdot y = 0 -
-3cdot z = 0
Da linha 3 vem
z=0 .
Da linha 2 vemy=0 .
Substituindo em (1):x + 0 + 0 = 0 , logo
x=0 .
Da linha 2 vem
Substituindo em (1):
Resposta
O conjunto‐solução é
(0,0,0) , e o sistema é compatível determinado (solução única).