Questão 3. (Valor 1,0) Determine o conjunto solução sistema, através do escalonamento, e classifique-o.
l 2 x-5 y+2 z=0 x+y+z=0 2 x+y-z=0

Passo 1

Beleza, aqui a parada é um sistema de 3 equações lineares com 3 incógnitas:
O conteúdo é “sistemas lineares” e vamos usar o método de escalonamento (eliminação de Gauss). O que precisamos?
  1. Montar a matriz aumentada.
  2. Fazer operações elementares de linha (trocar linha, multiplicar linha por escalar, somar múltiplos de linhas) até chegar numa forma triangular.
  3. Voltar às equações e resolver por substituição.

Passo 2

Primeiro escrevemos a matriz aumentada do sistema:
[ccc|c 2 & -5 & 2 & 0 1 & 1 & 1 & 0 2 & 1 & -1 & 0 ]
Teoria rápida: cada linha é uma equação, cada coluna (antes da barra) corresponde a x,y,z e a última coluna é o termo independente. Queremos zerar tudo abaixo do pivô (o primeiro elemento não nulo da linha) usando operações de linha.
Para facilitar, trocamos a linha 1 com a linha 2 (porque ela já tem 1 como primeiro elemento):
[ccc|c 1 & 1 & 1 & 0 2 & -5 & 2 & 0 2 & 1 & -1 & 0 ]
Agora, zeramos a coluna 1 abaixo do pivô (que é 1 na nova linha 1):
  • Linha 2 ← Linha 2 − 2·Linha 1
  • Linha 3 ← Linha 3 − 2·Linha 1
    Resulta em
[ccc|c 1 & 1 & 1 & 0 0 & -7 & 0 & 0 0 & -1 & -3 & 0 ]

Passo 3

Seguimos para o próximo pivô, que está na posição (2,2) e vale -7. Primeiro normalizamos essa linha dividindo por -7:
Linha 2 tfrac1-7,Linha 2 ;Longrightarrow; [ccc|c 1 & 1 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & -1 & -3 & 0 ]
Agora zeramos abaixo do pivô da coluna 2:
  • Linha 3 ← Linha 3 + 1·Linha 2
    Fica
[ccc|c 1 & 1 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & -3 & 0 ]
Chegamos a uma forma triangular onde cada linha tem um pivô diferente de zero.

Passo 4

Da matriz triangular a gente lê as equações assim:
  1. 1cdot x + 1cdot y + 1cdot z = 0
  2. 1cdot y = 0
  3. -3cdot z = 0
Da linha 3 vem z=0.
Da linha 2 vem y=0.
Substituindo em (1): x + 0 + 0 = 0, logo x=0.

Resposta

O conjunto‐solução é (0,0,0), e o sistema é compatível determinado (solução única).

Exercícios relacionados