Dadas as matrizes A=[cc2 & -3 4 & 1] e B=[cc0 & 5 1 & -2] em M2 times 2, determine se as matrizes abaixo podem ser escritas como uma combinação linear de A e B:
[cc6 & -19 10 & 7]

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A = 2 & -3 [4pt] 4 & 1, B = 0 & 5 [4pt] 1 & -2
e pede para ver se
C = 6 & -19 [4pt] 10 & 7
pode ser escrita como combinação linear de A e B. Precisamos achar escalares alpha,beta tais que
alpha A + beta B = C
]

Passo 2

Escrevendo a igualdade alpha A + beta B = C elemento a elemento, obtemos o sistema
2alpha + 0beta = 6
-3alpha + 5beta = -19
4alpha + 1beta = 10
alpha - 2beta = 7

Passo 3

Da primeira equação segue
2alpha = 6 Longrightarrow alpha = 3
Substituindo alpha=3 na segunda equação:
-3cdot 3 + 5beta = -19 Longrightarrow -9 + 5beta = -19 Longrightarrow 5beta = -10 Longrightarrow beta = -2

Passo 4

Verificamos nos demais:
terceira equação:
4cdot 3 + (-2) = 12 - 2 = 10,
quarta equação:
3 - 2cdot(-2) = 3 + 4 = 7
Tudo confere.

Resposta

Sim.
6 & -19 [4pt] 10 & 7 = 3,A ;-; 2,B
]

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