Dadas as matrizes A=[cc2 & -3 4 & 1] e B=[cc0 & 5 1 & -2] em M2 times 2, determine se as matrizes abaixo podem ser escritas como uma combinação linear de A e B:
[cc6 & 2 9 & 11]

Passo 1

O enunciado pede verificar se a matriz
C = 6 & 2 [6pt] 9 & 11
pode ser escrita como combinação linear de
A = 2 & -3 [3pt] 4 & 1 e B = 0 & 5 [3pt] 1 & -2
no espaço vetorial M2times2. Para isso, vamos buscar escalares x,y tais que
xA + yB = C
]

Passo 2

Escrevendo a combinação linear e igualando as entradas, temos
x2 & -3 [3pt] 4 & 1 + y0 & 5 [3pt] 1 & -2 = 6 & 2 [3pt] 9 & 11
Isso gera o sistema de equações:
2x + 0y = 6,[3pt] -3x + 5y = 2,[3pt] 4x + 1y = 9,[3pt] 1x - 2y = 11
]

Passo 3

Da primeira equação vem
2x = 6 Longrightarrow x = 3
Substituindo x=3 na terceira equação, obtemos
4cdot 3 + y = 9 Longrightarrow 12 + y = 9 Longrightarrow y = -3

Passo 4

Verificando esses valores na segunda equação:
-3cdot 3 + 5cdot(-3) = -9 - 15 = -24 neq 2
Há contradição, pois não se satisfaz a segunda equação. Logo, não existem escalares x,y que resolvam o sistema simultaneamente.

Resposta

A matriz 6 & 2 [3pt] 9 & 11 não pode ser escrita como combinação linear de A e B.
]

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