Seja T: E F uma transformação linear entre os espaços vetoriais E e F. Suponha que S subset E. Mostre que T(S) é um subespaço vetorial de F.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma transformação linear Tcolon Eto F e que S é um subespaço de E. Queremos mostrar que a imagem de S por T, isto é
T(S)=,T(x)mid xin S,
é um subespaço de F. Para isso, vamos usar a caracterização padrão de subespaço: mostrar que T(S)neqemptyset, que é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Mostramos que T(S) não é vazio verificando que 0Fin T(S). Como S é subespaço de E, temos 0Ein S. Pela linearidade de T,
T(0E)=0F
Logo 0Fin T(S), e T(S)neqemptyset.

Passo 3

Fechamento sob soma. Sejam y1,y2in T(S). Então existem x1,x2in S tais que
y1 = T(x1), y2 = T(x2)
Como S é subespaço, x1+x2in S. Pela linearidade de T,
T(x1+x2) ;=; T(x1) + T(x2) ;=; y1 + y2
Isto mostra que y1 + y2in T(S), ou seja, T(S) é fechado sob soma.

Passo 4

Fechamento sob escalar. Tome alphainBbb K (campo base) e yin T(S). Então existe xin S com y=T(x). Como S é subespaço, alpha xin S. Pela linearidade de T,
T(alpha x) ;=; alpha,T(x) ;=; alpha,y
Logo alpha,yin T(S), provando o fechamento sob multiplicação por escalar.

Resposta

Portanto, T(S) contém o vetor zero, é fechado sob soma e é fechado sob multiplicação por escalar. Isso mostra que T(S) é um subespaço vetorial de F.

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