Seja
uma transformação linear entre os espaços vetoriais
e
. Suponha que
. Mostre que
é um subespaço vetorial de
.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma transformação linear
e que
é um subespaço de
. Queremos mostrar que a imagem de
por
, isto é
é um subespaço de
. Para isso, vamos usar a caracterização padrão de subespaço: mostrar que
, que é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Mostramos que
não é vazio verificando que
. Como
é subespaço de
, temos
. Pela linearidade de
,
Logo
, e
.
Passo 3
Fechamento sob soma. Sejam
. Então existem
tais que
Como
é subespaço,
. Pela linearidade de
,
Isto mostra que
, ou seja,
é fechado sob soma.
Passo 4
Fechamento sob escalar. Tome
(campo base) e
. Então existe
com
. Como
é subespaço,
. Pela linearidade de
,
Logo
, provando o fechamento sob multiplicação por escalar.
Resposta
Portanto,
contém o vetor zero, é fechado sob soma e é fechado sob multiplicação por escalar. Isso mostra que
é um subespaço vetorial de
.