Seja T: E F uma transformação linear entre os espaços vetoriais E e F. Suponha que E tenha dimensão finita. Mostre que T é injetora se e somente se leva conjuntos linearmente independentes de E em conjuntos linearmente independentes de F.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para uma transformação linear
Tcolon E to F
com dim E<infty, vale
T é injetora Long<=ftrightarrow se visubset E é li, então T(vi)subset F é li ééãé
Aqui vamos usar a definição de injetividade ( ker T=0) e a definição de conjunto linearmente independente (uma combinação linear nula implica todos os coeficientes nulos).

Passo 2

Prova da implicação “ Rightarrow”.
Suponha que T seja injetora e seja v1,dots,vksubset E um conjunto linearmente independente. Considere uma combinação linear em F:
sumi=1^k ai,T(vi)=0
Como T é linear, isso equivale a
Tl(sumi=1^k ai vir)=0
Pela injetividade de T, necessariamente
sumi=1^k ai vi=0
Mas vi era l.i., logo todos os coeficientes ai são zero. Concluímos que T(vi) é l.i.

Passo 3

Prova da implicação “ Leftarrow".
Suponha agora que toda imagem de conjunto l.i.\ em E seja l.i.\ em F. Para mostrar que T é injetora basta provar que ker T=0.
Se vinker T, então T(v)=0. Se vneq0, o conjunto v é linearmente independente em E, e pela hipótese T(v)=0 seria l.i.\ em F. Mas 0 é linearmente dependente, contradição. Logo somente v=0 pode estar em ker T, ou seja, ker T=0, e T é injetora.

Resposta

Mostramos que T é injetora se e somente se leva conjuntos linearmente independentes de E em conjuntos linearmente independentes de F.

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