Seja
uma transformação linear entre os espaços vetoriais
e
. Suponha que
tenha dimensão finita. Mostre que
é injetora se e somente se leva conjuntos linearmente independentes de
em conjuntos linearmente independentes de
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para uma transformação linear
com
, vale
Aqui vamos usar a definição de injetividade (
) e a definição de conjunto linearmente independente (uma combinação linear nula implica todos os coeficientes nulos).
Passo 2
Prova da implicação “
”.
Suponha que seja injetora e seja
um conjunto linearmente independente. Considere uma combinação linear em
:
Suponha que
Como
é linear, isso equivale a
Pela injetividade de
, necessariamente
Mas
era l.i., logo todos os coeficientes
são zero. Concluímos que
é l.i.
Passo 3
Prova da implicação “
".
Suponha agora que toda imagem de conjunto l.i.\ em seja l.i.\ em
. Para mostrar que
é injetora basta provar que
.
Se , então
. Se
, o conjunto
é linearmente independente em
, e pela hipótese
seria l.i.\ em
. Mas
é linearmente dependente, contradição. Logo somente
pode estar em
, ou seja,
, e
é injetora.
Suponha agora que toda imagem de conjunto l.i.\ em
Se
Resposta
Mostramos que
é injetora se e somente se leva conjuntos linearmente independentes de
em conjuntos linearmente independentes de
.