Dadas as matrizes A=[cc2 & -3 4 & 1] e B=[cc0 & 5 1 & -2] em M2 times 2, determine se as matrizes abaixo podem ser escritas como uma combinação linear de A e B:
[cc-2 & 23 0 & -9]

Passo 1

Resumindo o enunciado, queremos verificar se existe escalares alpha e beta tais que
alpha A + beta B = C,
onde
A = 2 & -3 [6pt] 4 & 1, B = 0 & 5 [6pt] 1 & -2, C = -2 & 23 [6pt] 0 & -9
O conteúdo envolvido é combinação linear de matrizes em M2times2.]

Passo 2

Escrevemos a combinação em função de alpha e beta:
alpha A + beta B = 2alpha & -3alpha [4pt] 4alpha & alpha + 0 & 5beta [4pt] beta & -2beta = 2alpha & -3alpha + 5beta [4pt] 4alpha + beta & alpha - 2beta ]

Passo 3

Igualando ao alvo C obtemos o sistema
2alpha = -2, -3alpha + 5beta = 23, 4alpha + beta = 0, alpha - 2beta = -9
Da primeira equação segue alpha = -1. Substituindo em -3alpha + 5beta = 23 vem 5beta = 20, logo beta = 4.

Passo 4

Verificamos as outras equações com alpha=-1 e beta=4:
4(-1) + 4 = 0, -1 - 2cdot4 = -9,
ambas satisfeitas, mostrando consistência.

Resposta

Sim. A matriz C pode ser escrita como combinação linear de A e B:
C = (-1),A + 4,B

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