Seja
uma transformação linear entre os espaços vetoriais
e
. Suponha que
tenha dimensão finita. Mostre que se
é injetora então
.
Passo 1
O enunciado trata de uma transformação linear
, onde
é de dimensão finita, e pede para mostrar que, se
é injetora, então
. O que vamos usar é o conceito de núcleo e imagem de
e o Teorema do Núcleo e da Imagem (ou Teorema da Dimensão).
Passo 2
Definimos o núcleo de
como
e a imagem de
como
Ambos são subespaços vetoriais, respectivamente, de
e de
.
Passo 3
Pelo Teorema do Núcleo e da Imagem temos a relação de dimensões
Passo 4
Como
é injetora, seu núcleo é trivial, isto é,
logo
e portanto
Passo 5
Finalmente, como
é subespaço de
, vale
daí