Seja T: E F uma transformação linear entre os espaços vetoriais E e F. Suponha que E tenha dimensão finita. Mostre que se T é injetora então dim(E) <= dim(F).

Passo 1

O enunciado trata de uma transformação linear Tcolon Eto F, onde E é de dimensão finita, e pede para mostrar que, se T é injetora, então dim(E)<= dim(F). O que vamos usar é o conceito de núcleo e imagem de T e o Teorema do Núcleo e da Imagem (ou Teorema da Dimensão).

Passo 2

Definimos o núcleo de T como
ker(T)=,vin Emid T(v)=0
e a imagem de T como
Im(T)=,T(v)mid vin Esubseteq F
Ambos são subespaços vetoriais, respectivamente, de E e de F.

Passo 3

Pelo Teorema do Núcleo e da Imagem temos a relação de dimensões
dim(E);=;diml(ker(T)r);+;diml(Im(T)r)

Passo 4

Como T é injetora, seu núcleo é trivial, isto é,
ker(T)=0,
logo
diml(ker(T)r)=0
e portanto
dim(E)=diml(Im(T)r)

Passo 5

Finalmente, como Im(T) é subespaço de F, vale
diml(Im(T)r)<=dim(F),
daí
dim(E);=;diml(Im(T)r);<=;dim(F)

Resposta

dim(E)<=dim(F).

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