Seja T: E F uma transformação linear entre os espaços vetoriais E e F de dimensão finita. Mostre que se T é sobrejetora, então dim(F) <= dim(E).

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T: E to F entre espaços vetoriais de dimensão finita e diz que T é sobrejetora. Precisamos mostrar que dim(F)<= dim(E). O conteúdo principal aqui é o Teorema da Dimensão (ou Teorema Núcleo–Imagem), que relaciona dim(E), dim(ker T) e dim(ImT).

Passo 2

Definimos a imagem de T como
Im(T)=,T(v)mid vin E
Como T é sobrejetora, todo vetor de F é atingido por T, logo
Im(T)=F Longrightarrow diml(Im(T)r)=dim(F)

Passo 3

Aplicamos o Teorema Núcleo–Imagem, que diz que para toda transformação linear T: Eto F com E de dimensão finita vale
dim(E)=diml(ker(T)r)+diml(Im(T)r)
Como diml(ker(T)r)>=0, segue
dim(E)>= diml(Im(T)r)
Substituindo dim(Im(T))=dim(F) obtemos
dim(E)>= dim(F),
ou seja,
dim(F)<= dim(E)

Resposta

dim(F)<= dim(E).

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