Seja
uma transformação linear entre os espaços vetoriais
e
de dimensão finita. Mostre que se
é sobrejetora, então
.
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear
entre espaços vetoriais de dimensão finita e diz que
é sobrejetora. Precisamos mostrar que
. O conteúdo principal aqui é o Teorema da Dimensão (ou Teorema Núcleo–Imagem), que relaciona
,
e
.
Passo 2
Definimos a imagem de
como
Como
é sobrejetora, todo vetor de
é atingido por
, logo
Passo 3
Aplicamos o Teorema Núcleo–Imagem, que diz que para toda transformação linear
com
de dimensão finita vale
Como
, segue
Substituindo
obtemos
ou seja,