Dadas as matrizes A=[cc2 & -3 4 & 1] e B=[cc0 & 5 1 & -2] em M2 times 2, determine se as matrizes abaixo podem ser escritas como uma combinação linear de A e B:
[ll0 & 0 0 & 0]

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes em M2times 2:
A = 2 & -3 [6pt]4 & 1, B = 0 & 5 [6pt]1 & -2,
e pergunta se a matriz nula
O = 0 & 0 [6pt]0 & 0
pode ser escrita como combinação linear de A e B. O conteúdo aqui é entender que qualquer subespaço vetorial sempre contém a combinação linear trivial.]

Passo 2

Procuramos escalares x,yinR tais que
xA + yB = O
Escrevendo em forma de entradas,
x2 & -3 [3pt]4 & 1 + y0 & 5 [3pt]1 & -2 = 0 & 0 [3pt]0 & 0 ]

Passo 3

Igualando as entradas correspondentes, obtemos o sistema
2x + 0,y = 0, -3x + 5y = 0, 4x + y = 0, x - 2y = 0
Da primeira equação vem x=0. Substituindo em -3x+5y=0 5y=0, logo y=0. As outras duas equações confirmam x=0 e y=0.

Resposta

Sim. Basta escolher x=0 e y=0, pois
0cdot A + 0cdot B = 0 & 0 [3pt]0 & 0 ]

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