Determine quais dos conjuntos abaixo são geradores do Espaço Vetorial Euclidiano R^2 :
(-1,2),(1,-2),(2,-4)

Passo 1

O enunciado pede para determinar se o conjunto {(-1,2),(1,-2),(2,-4)} gera o espaço vetorial R^2. Esse tema envolve geradores de espaços vetoriais, combinações lineares e dimensão do espaço. Para resolver, vamos testar a independência linear dos vetores e verificar se o posto é 2.

Passo 2

Observamos que os três vetores são múltiplos de (-1,2). De fato, (1,-2) = -1 cdot (-1,2) e (2,-4) = -2 cdot (-1,2).

Passo 3

Como todos os vetores estão na mesma reta, o subespaço que eles geram é de dimensão 1, isto é, span(-1,2).

Passo 4

Para gerar R^2, precisamos de pelo menos dois vetores linearmente independentes, o que não ocorre aqui.

Resposta

O conjunto não gera R^2.

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