Exercício 10 Para cada uma das afirmações a seguir diga se é verdadeira ou falsa. No caso verdadeiro apresente uma justificativa e no falso, um contra-exemplo.
Em cada um dos itens
denota um espaço vetorial de dimensão finita.
- Sejam
um operador diagonalizável e
uma base de
. Então, existe uma matriz inversivel
tal que
é diagonal.
- Se
é diagonalizável então as raízes do polinômio característico
de
são simples (isto é, não têm multiplicidade).
Passo 1
O exercício pede para decidir se cada afirmação sobre operadores diagonalizáveis em um espaço vetorial de dimensão finita é verdadeira ou falsa e, conforme o caso, dar justificativa ou contra‐exemplo.
Passo 2
No item 1, lembramos que T é diagonalizável se existe uma base β de V formada por autovetores de T. Nessa base, a matriz de T fica diagonal, ou seja,
é diagonal. Dada qualquer outra base α, a matriz de mudança de base
de α para β satisfaz
que é diagonal. Logo, a afirmação é verdadeira.
Passo 3
No item 2, embora diagonalizável exija que a multiplicidade geométrica de cada autovalor iguale sua multiplicidade algébrica, não há exigência de que essa multiplicidade seja 1. Por exemplo, considere
em um espaço de dimensão 2. Em qualquer base,
é
, que é diagonal (logo T é diagonalizável), mas seu polinômio característico é
cuja raiz
Resposta
- Verdadeira
- Falsa