Exercício 10 Para cada uma das afirmações a seguir diga se é verdadeira ou falsa. No caso verdadeiro apresente uma justificativa e no falso, um contra-exemplo.
Em cada um dos itens V neq0 denota um espaço vetorial de dimensão finita.
  1. Sejam T: V V um operador diagonalizável e alpha uma base de V. Então, existe uma matriz inversivel P tal que P[T]alpha^alpha P^-1 é diagonal.
  2. Se T: V V é diagonalizável então as raízes do polinômio característico pT(lambda) de T são simples (isto é, não têm multiplicidade).

Passo 1

O exercício pede para decidir se cada afirmação sobre operadores diagonalizáveis em um espaço vetorial de dimensão finita é verdadeira ou falsa e, conforme o caso, dar justificativa ou contra‐exemplo.

Passo 2

No item 1, lembramos que T é diagonalizável se existe uma base β de V formada por autovetores de T. Nessa base, a matriz de T fica diagonal, ou seja, [T]β^β é diagonal. Dada qualquer outra base α, a matriz de mudança de base P de α para β satisfaz
P,[T]α^α,P^-1 = [T]β^β,
que é diagonal. Logo, a afirmação é verdadeira.

Passo 3

No item 2, embora diagonalizável exija que a multiplicidade geométrica de cada autovalor iguale sua multiplicidade algébrica, não há exigência de que essa multiplicidade seja 1. Por exemplo, considere T = IdV em um espaço de dimensão 2. Em qualquer base, [T] é I2, que é diagonal (logo T é diagonalizável), mas seu polinômio característico é
(lambda - 1)^2,
cuja raiz lambda=1 tem multiplicidade algébrica 2. Portanto, a afirmação é falsa.

Resposta

  1. Verdadeira
  2. Falsa

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