A soma de todos os elementos da inversa da matriz A=(ccc2 & 5 & -1 4 & -1 & 2 0 & 4 & 1) é igual a:
(a) 1427
(b) 727
(c) 16
(d) 26
(e) 3354.

Passo 1

O enunciado pede a soma de todos os elementos de A^-1, onde
A = 2 & 5 & -1 4 & -1 & 2 0 & 4 & 1
O conteúdo aqui é cálculo da inversa de matriz e soma de seus elementos. Em vez de achar A^-1 diretamente, vamos usar o fato de que
sumi,j(A^-1)ij = 1^T A^-11,
onde 1=(1,1,1)^T. Definimos x=A^-11, de modo que x satisfaz Ax=1.

Passo 2

Escrevemos o sistema linear Ax=1 em coordenadas x=(x1,x2,x3)^T:
2x1 + 5x2 - x3 = 1, 4x1 - x2 + 2x3 = 1, 0cdot x1 + 4x2 + x3 = 1

Passo 3

Da terceira equação obtemos
4x2 + x3 = 1 Longrightarrow x3 = 1 - 4x2

Passo 4

Substituindo x3=1-4x2 na primeira e segunda equações:
Primeira:
2x1 + 5x2 - (1-4x2) = 1 Longrightarrow 2x1 + 9x2 = 2 Longrightarrow x1 = 1 - tfrac92x2
Segunda:
4x1 - x2 + 2(1-4x2) = 1
Substituindo x1:
4l(1 - tfrac92x2r) - x2 + 2 - 8x2 = 1 Longrightarrow 6 - 27x2 = 1 Longrightarrow x2 = tfrac527

Passo 5

Com x2=tfrac527 achamos
x1 = 1 - tfrac92cdottfrac527 = tfrac16, x3 = 1 - 4cdottfrac527 = tfrac727
Então x = (x1,x2,x3)^T tem soma dos componentes
x1 + x2 + x3 = tfrac16 + tfrac527 + tfrac727 = tfrac16 + tfrac1227 = tfrac318 + tfrac818 = tfrac1118 = tfrac3354
Essa soma é exatamente 1^T A^-11 = sumi,j(A^-1)ij.

Resposta

(e) tfrac3354

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